Integral de 1/raíz(x^2 + 1)

Integral de 1/raíz(x^2 + 1)

de Ignacio Fornier De Serres Fontes -
Número de respuestas: 7
Buenas, en el libro esta integral está como directa y su valor es arcsenh(x) + C, creó que había una forma de calcularla pero no lo estoy pudiendo hacer, alguna idea?
En respuesta a Ignacio Fornier De Serres Fontes

Re: Integral de 1/raíz(x^2 + 1)

de Giuliana Maria Esquibel Rodriguez -
creo que tenes que hacerlo por partes y luego un cambio de variable
En respuesta a Giuliana Maria Esquibel Rodriguez

Re: Integral de 1/raíz(x^2 + 1)

de Giuliana Maria Esquibel Rodriguez -
Yo tengo que es 1/raíz(1 - x^2) , creo que te comiste ese menos.

Tenes que hacer un cambio de variable, recorda que cos^2 x + sen^2 x = 1 y hace que la x = cos u.. luego tenes que dx = cos u du...
entonces te queda integral de cos u / raiz(cos^2 u) du, que es lo mismo que la integral de cos u / cos u, entonces es la integral de 1 que es u. Como x = sen u, u = arcosen x
En respuesta a Giuliana Maria Esquibel Rodriguez

Re: Integral de 1/raíz(x^2 + 1)

de Ignacio Fornier De Serres Fontes -

Esa que decís es otra, la que yo buscaba era 1/raiz(1 + x^2) , que da arcsenh(x),igualmente con los pasos que seguiste creo que sale esta, gracias!

En respuesta a Ignacio Fornier De Serres Fontes

Re: Integral de 1/raíz(x^2 + 1)

de Bernardo Marenco -

Buenas,

una forma de ver que la derivada de arcsenh(x) es $$\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$$ es usar el teorema de la función inversa. Si consideramos $$f(x)=senh(x)$$, entonces $$f^{-1}(x)=arcsenh(x)$$. Aplicando el teo. de la función inversa tenemos que:

$$arcsenh'(x)=\left(f^{-1}\right)'(x)=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}=\frac{1}{senh'(arcsenh(x))}$$

Usando la definición de seno y coseno hiperbólico, tenemos que $$senh'(x)=cosh(x)$$. Además, estas funciones cumplen la identidad:

$$cosh^2(x)-senh^2(x)=1 \Rightarrow cosh(x)=\sqrt{1+senh^2(x)}$$

Así, tenemos que:

$$arcsenh'(x)=\frac{1}{cosh(x)(arcsenh(x))}=\frac{1}{\sqrt{1+senh^2(arcsenh)}}=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$$

Saludos
En respuesta a Ignacio Fornier De Serres Fontes

Re: Integral de 1/raíz(x^2 + 1)

de Ignacio Rafael Ferreira Urrutia -
Estuve buscando un rato y encontré esto, tiene parte de lo que ya se dijo arriba pero creo que puede servir.


\( \int_{}^{}{\frac{ 1}{{\sqrt[]{1+x^2}}}} \, = \int_{}^{}{\frac{ cosh(u)}{{\sqrt[]{1+senh^2(u)}}}} \, = \int_{}^{}{\frac{ cosh(u)}{{\sqrt[]{cosh^2(u)}}}} \, = \)

\( x=senh(u) \)                                     \( cosh^2(x)-senh^2(x)=1 \)

\( dx=cosh(u)du \)

\( \int_{}^{}{\frac{ cosh(u)}{{{cosh(u)}}}} \, = \int_{}^{}{1} = u \)

\( x=senh(u) \Rightarrow arcsenh(x)=u \)

\( \int_{}^{}{\frac{ 1}{{\sqrt[]{1+x^2}}}} = arcsenh(x) \)