Buenas,
observá que la diferencia entre considerar la impropia de 0 a $$+\infty$$ y la de $$-\infty$$ a $$+\infty$$ es que en el segundo caso estás incluyendo al -1, por lo que tenés una impropia mixta. Si estudiás esa impropia en -1 vas a ver que diverge. Para hacerlo, podés usar el cambio de variable $$u=t+1$$:
$$\int_{-1}^0 \frac{2t-3}{(t^2+4)(t+1)}dt=\int_{0}^1 \frac{2(u-1)-3}{\left[(u-1)^2+4\right]u}du$$
La impropia de la derecha es equivalente a la de $$\frac{1}{u}$$, que diverge entre 0 y 1.
Más allá de esto, me parece que tenés un error de concepto con las impropias mixtas. Al hacer la división en integrales como vos hiciste (de -inf a -2 de -2 a -1 de -1 a 0 y de 0 a +inf), decimos que la impropia original converge si y sólo si las 4 impropias convergen. Por eso si una sola diverge, ya podés afirmar que la impropia de -inf a + inf no converge.
Saludos