¡Ojo que con integrales no sucede lo mismo!
En integrales impropias las condiciones "tiende a 0" y "la integral impropia converge" no están relacionadas en general (es decir, ninguna es necesaria ni suficiente para la otra)
Van cuatro ejemplos de impropias de primera especie en los que se ve que puede pasar cualquier cosa, algunos como los que decían en comentarios anteriores que están bien.
1/x : tiende a 0 y su integral no converge
1/(x^2) : tiende a 0 y su integral converge
1 : no tiende a 0 y su integral no converge
sen(x^2) : no tiende a 0 y su integral converge
Saludos