una consulta, cuando quiero hallar el borde de la superficie (la interseccion de la esfera y el plano) me queda una elipse: x^2 + y^2 + xy - x - y=0
¿cómo parametrizo esa elipse???
gracias
la esfera intersectada con un plano que pasa por el origen no es una elipse sino una circunferencia, esa intersección en particular la hicimos varias veces :), va adjunto
pero el plano es x +y +z (mayor igual) 1 , me parece que no pasa por el origen, por eso nose como hacerlo!
tenés razón, no pasa por el origen, es paralelo al plano x+y+z=0, así que guardá la respuesta en pdf que te mandé porque la vamos a usar.
1) parametrizar la curva intersección. Primero, notar que es una circunferencia. En efecto, la intersección de la esfera con el plano x+y+z=0 es una circunferencia, este es un plano paralelo a este, desplazado hacia arriba, también da una circunferencia. Tenemos que determinar su centro y radio. Por simetría, el centro de la circunferencia va a estar donde la recta normal al plano (t,t,t) corte al plano, es decir, en (1/3,1/3,1/3). Ahora hay que determinar el radio, para esto alcanza encontrar un punto en esa circunferencia intersección y calcular la distancia del punto al centro. Ahora, es fácil ver que (1,0,0) (o (0,1,0) o (0,0,1)) pertenece a la circunferencia intersección. la distancia de cualquiera de esos puntos al centro es raíz de (2/3). Ese es el radio. Cómo se parametriza ahora, tomás los vectores u y v perpendiculares a (1,1,1) del pdf que te mandé, tienen norma 1.
La ecuación es alpha(t) = (1/3,1/3,1/3) + raíz de 2/3 (cos t u+sen t v)
2) ahora hay que ver si realmente eso era necesario, porque por otra parte, el campo del que hay que calcular la circulación es (x,y,z) vectorial (1,1,1). Ese campo es paralelo al plano x+y+z=0, dado que es normal a (1,1,1). Concretamente da (y-z,z-x,x-y). Las cuentas se pueden hacer directamente (lo que sospecho es trabajoso), o se puede tratar de ver si usando algún tipo de simetría se puede demostrar que la circulación es, por ejemplo, cero. No lo hice, así que no sé si da cero.
Piénsenlo un poco, y si no sale, lo volvemos a ver,
suerte!
jana
ahora si, muchas gracias!
por que es esto?
"Por simetría, el centro de la circunferencia va a estar donde la recta normal al plano (t,t,t) corte al plano, es decir, en (1/3,1/3,1/3)"?
El flujo da 0 porque los vectores del campo son paralelos al plano, y nunca lo atraviezan?