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De este hice la parte a, pero no estoy seguro de como hacer la parte b! asi que si alguien sabe se agradece.

Para la parte a, vos lo que encontras es una funcion u(Φ)   /   r(Φ) = 1/u(Φ)

necesitas encontrar Φ* para el cual r(Φ) tiende a infinito.

Si miras la relacion entre r y u, podes concluir que lo que necesitas es Φ* / u(Φ*)=0

Ya que cuando Φ tienda a Φ*, u(Φ) va a tender a 0 y por ende 1/u(Φ) va a tender a infinito.

(aclaro por las dudas que cuando hablo de Φ, no estoy hablando del angulo que señala el problema, sino de el angulo que forma el versor êr con la horizontal, el cual resulta ser la diferencia entre 2pi y el angulo que señala la letra del problema)

Para encontrar ese Φ* no resulta tan facil. vos lo que tenes es una funcion en senos y cosenos y tenes que ver cuando da 0.

Para obtener las soluciones del practico tenes que utilizar una relacion trigonometrica que no es tan sencilla de acordarsela.. asi que yo no la use. De esa relacion es que sale la tg(Φ/2) esa..

Yo hice otra cosa:

Necesitas u(Φ)=0

Sabes que Φ = 0 es solucion porque es una de tus condiciones iniciales, entonces deberia haber algun otro angulo Φ* que sea solucion de la ecuacion y que no sea 0.

habiendo visto eso, lo que yo hice fue expresar seno(Φ) como  sqrt(1-cos^2(Φ))

con esto obtengo una ecuacion solamente en cos(Φ)

algo de este estilo: A.cos(Φ) + B.sqrt(1-cos^2(Φ)) + C = 0

necestito entonces cos(Φ*) que sea solucion de la ecuacion.

cos(Φ*) lo podes ver como una variable unica para la ecuacion.. 

ponele que le llamas x = cos(Φ*), (por estar definida asi, tenes que ver que -1<=x<=1)

haciendo ese "cambio de vairable" obtenes una ecuacion de segundo grado en x de la cual queres obtener sus raices.


te queda: Ax + B.sqrt(1-x^2) + C = 0


Una de estas raices va a ser el cos(Φ*) buscado y bueno, Φ* sale directamente con arcocoseno.

Observacion:  fijate que para resolver esa ecuacion, x=1 debe ser una de tus soluciones.

Φ=0 es solucion ya que u(Φ=0)=0 (condicion inicial)

=> cos(Φ*=0) es solucion

=> x = cos(0) = 1 es solucion

Sabiendo eso podes usar ruffini para encontrar la otra raiz, o podes usar bascara tambien.

Si usas bascara te tiene que dar que una de las soluciones es x=1 y la otra es la que buscas!

El resultado que encuentres, tiene que verificar el dominio de x, o sea |x|<=1 debido a que x = cos(Φ*)

a mi x me dio: 

x=[(D^2 - 4b^2)/(D^2+4b^2)]

(D^2 - 4b^2)/(D^2+4b^2)<1 <=> (D^2 - 4b^2)<(D^2+4b^2) <=> -4b^2<4b^2 <=> -1<1 (se cumple)

(D^2 - 4b^2)/(D^2+4b^2)>-1 <=> D^2 - 4b^2 > -D^2 - 4b^2 <=> D^2>-D^2 <=> 1>-1 (se cumple)

Lo que no estoy segudo de como se hace es la parte B