FVC-1S: Práctico 8 Ejercicio 3 Parte C

Este ejercicio pide probar que en todo sistema lineal la función de transferencia

$H(p)$ es la respuesta al escalón, es decir que

$G(p)= L[s(t)](p)$ donde

$s(t)$ es la salida del sistema cuando la entrada

$e(t) = y(t)$ (siendo

$y(t)$ el escalón de Heaviside).

Como el sistema es lineal sabemos que:

$s(t)=(g*e)(t)$

y también sabemos que transformando:

$S(p)=G(p).E(p)$

Ahora, si mi entrada es el escalón

$y(t)$ su transformada de Laplace es:

$L[y(t)](p)=Y(p)= \frac {1}{p}$

Por lo que nos queda:

$S(p)=G(p).Y(p)= \frac {G(p)}{p}$

De donde yo deduzco que:

$L[s(t)](p) \neq G(p)$

A mi me parece, no estoy 100% seguro, de que hay un error en la letra, creo que en todo sistema lineal la función de transferencia

$H(p)$ es la respuesta al impulso, es decir que

$G(p)= L[s(t)](p)$ donde

$s(t)$ es la salida del sistema cuando la entrada

$e(t) = \delta (t)$ (siendo

$\delta (t)$ la distribución "Delta de Dirac"). Por lo siguiente:

Como el sistema es lineal sabemos que:

$s(t)=(g*e)(t)=(g* \delta)(t)=g(t)$

y también sabemos que transformando:

$S(p)=G(p).E(p)$

Como mi entrada es

$\delta(t)$ su transformada de Laplace es:

$L[ \delta (t)](p)=1$

Nos queda:

$S(p)=G(p).L[ \delta (t)](p)= G(p)$

Que es lo que pide probar. Si me estoy equivocando que alguien me corrija, porque la verdad me confundió bastante este ejercicio.

Saludos,
Martín

Re: Práctico 8 Ejercicio 3 Parte C

de Eleonora Catsigeras. - jueves, 9 de junio de 2011, 21:24

Sí, tenés razón, está mal el enunciado. Copié y pegué de otro lado y me hice entrevero entre la G(p) que es la función de transferencia, y la H(p) que es la respuesta al escalón. El ejercicio 3 parte c) debería decir esto (a ver si ahora no meto la pata de vuelta):

Ej. 3 c) Demostrar que en todo sistema lineal la función de transferencia

$G(p)$ es igual a

$pH(p)$ , donde

$H(p)$ es la transformada de Laplace de la respuesta al escalón, es decir

$H(p)= {\mathcal L} (s_H(t))$ donde

$s_H(t)$ es la salida del sistema cuando la entrada

$e(t) = H(t)$ es el escalón de Heaviside definido al principio. Verificar que la respuesta al escalón es

$s_H(t) = \int_0^t g(s) \, ds .$

Voy a corregirlo ahora en el repartido.

Gracias por avisar del error.

Lo que vos decís también es cierto.

Saludos Eleonora

Re: Práctico 8 Ejercicio 3 Parte C

de Martin Piquerez Rama - viernes, 10 de junio de 2011, 08:53

Ahi está, creo que ahora está bien. De paso me parece que hay otro "errorsito", no estoy 100% seguro pero creo que cuando se definde el producto convolución en las definiciones del Ejercicio 3, no debería ser de la siguiente forma? :

$\int_{-\infty}^{+\infty}e(t-s)g(s) \, d s = \int_{-\infty}^{+\infty}e(s)g(t-s) \, d s$

Cambié los intervalos de integración y además un

$(t-s)$ en vez de

$(s-t)$ . Estoy comparando la definición del práctico con la que nos dieron en Sistemas Lineales 1 del producto convolución para funciones. Igualmente la salida

$s_H(t) = \int_0^t g(s) \, ds$ es correcta ya que convolucionar con el escalón es cambiar el integrando:

$\int_{-\infty}^{+\infty}H(t-s)g(s) \, d s = \int_0^t g(s) \, ds$

Acá puedo estar más errado.

Gracias por aclarar lo del ejercicio anterior.

Saludos,
Martín

Re: Práctico 8 Ejercicio 3 Parte C

de Eleonora Catsigeras. - viernes, 10 de junio de 2011, 14:49

No, no está equivocado ahí el enunciado. La convolución se define como:

$(e*g)(t) = \int_{0}^{t}e(t-s)g(s) \, d s = \int_{0}^{t}e(s)g(t-s) \, d s \ \forall t \geq 0$

1) En la primera versión del repartido 8 decia

$s - t$ en vez de

$t - s$ pero la semana pasada lo corregí. (Se supone que todos reciben el post en "Novedades" Pregunto de paso: ¿funciona eso de recibir los post de Novedades o solo reciben los post del Foro?)

2) La integral de la convolución , en el caso de la tranformada de Laplace, puede
tomarse para la variable real