Buenas, tengo un par de dudas sobre este tipo de campos y su relación con el teorema de Gauss.
Según el ejercicio 7 del práctico 7 del 2014, si un campo es de rotores en Ω, entonces el flujo del campo a través de cualquier superficie cerrada y acotada, sin borde y orientable en Ω es cero; incluso si la superficie no está completamente contenida en Ω.
Es clara la prueba si la superficie está contenida en Ω, dado que div(rot(F))=0. Si no está contenida completamente en Ω, siguiendo la sugerencia no hay mayor problema para probarlo.
Ahora, si vamos al ejercicio 9 del mismo práctico, el campo X es de rotores en Ω, dado que por el teorema 8.2.1 de las notas del curso 2014 , si un campo es solenoidal en un abierto, entonces es de rotores. Entonces, el flujo a través de ambas superficies no debería ser cero? Porque por más que encierren infinitas singularidades, puedo utilizar la sugerencia del ejercicio 7 de dividir la superficie en casquetes y aplicar Stoke's, ya que en la superficie faltarían sólo dos puntos (a saber para el cilindro el (0,0,-1) y el (0,0,1)), entonces puedo dividirlo de tal forma, que los bordes de las nuevas superficies queden contenidos en un abierto en donde el campo es de rotores.
Es decir, por qué no aplican las condiciones del ejercicio 7 a este caso?
Otra duda es con respecto al ejercicio 8 de este práctico, el cual da a entender que a través de cualquier esfera que rodee al (0,0,0), un campo de rotores en Ω= R3 - (0,0,0) tiene flujo nulo. Este es el caso de, por ejemplo, el campo eléctrico: es solenoidal en Ω= R3 - (0,0,0) y por ende de rotores (por el teorema de arriba). Sin embargo, el flujo a través de cualquier esfera que rodee al (0,0,0) es distinto de cero.
O sea, la duda es qué hace que el campo eléctrico, cumpliendo con las hipótesis del ejercicio 8, no tenga flujo nulo?
Disculpas por las molestias y desde ya muchas gracias
Pablo