Campos de rotores

Campos de rotores

de Pablo Ures De Freitas -
Número de respuestas: 5

Buenas, tengo un par de dudas sobre este tipo de campos y su relación con el teorema de Gauss. 

Según el ejercicio 7 del práctico 7 del 2014, si un campo es de rotores en Ω, entonces el flujo del campo a través de cualquier superficie cerrada y acotada, sin borde y orientable en Ω es cero; incluso si la superficie no está completamente contenida en Ω.  

Es clara la prueba si la superficie está contenida en Ω, dado que div(rot(F))=0. Si no está contenida completamente en Ω, siguiendo la sugerencia no hay mayor problema para probarlo.

Ahora, si vamos al ejercicio 9 del mismo práctico, el campo X es de rotores en Ω, dado que por el teorema 8.2.1 de las notas del curso 2014 , si un campo es solenoidal en un abierto, entonces es de rotores. Entonces, el flujo a través de ambas superficies no debería ser cero? Porque por más que encierren infinitas singularidades, puedo utilizar la sugerencia del ejercicio 7 de dividir la superficie en casquetes y aplicar Stoke's, ya que en la superficie faltarían sólo dos puntos (a saber para el cilindro el (0,0,-1) y el (0,0,1)), entonces puedo dividirlo de tal forma, que los bordes de las nuevas superficies queden contenidos en un abierto en donde el campo es de rotores.

Es decir, por qué no aplican las condiciones del ejercicio 7 a este caso?

Otra duda es con respecto al ejercicio 8 de este práctico, el cual da a entender que a través de cualquier esfera que rodee al (0,0,0), un campo de rotores en Ω= R3 - (0,0,0) tiene flujo nulo. Este es el caso de, por ejemplo, el campo eléctrico: es solenoidal en Ω= R3 - (0,0,0)  y por ende de rotores (por el teorema de arriba). Sin embargo, el flujo a través de cualquier esfera que rodee al (0,0,0) es distinto de cero.

O sea, la duda es qué hace que el campo eléctrico, cumpliendo con las hipótesis del ejercicio 8, no tenga flujo nulo?

Disculpas por las molestias y desde ya muchas gracias

Pablo

En respuesta a Pablo Ures De Freitas

Re: Campos de rotores

de Juliana Xavier -

Hola.  No es verdad que un campo solenoidal en un abierto es de rotores. No sé a qué notas te referís, pero eso es falso.  Sabés un ejemplo? :)

En respuesta a Juliana Xavier

Re: Campos de rotores

de Pablo Ures De Freitas -

Hola Juliana, las notas del curso a las que me refiero son las que están en la sección "material  teórico 2014" de la página del curso. En ellas, dentro de la sección "Teorema de Stokes y de Gauss" hay un subtitulo que demuestra como construir un campo vectorial a partir de su rotor. En esta sección hay un teorema que paso a copiar textualmente:

Si Y es un campo de clase C1 en un intervalo abierto S de R3, entonces
existe un campo vectorial X tal que rot (X) = Y si y solo si div (Y) = 0 en todo S (es decir si Y es solenoidal).

Si no interpreto mal este teorema, dado Y, C1 y div (Y) = 0 en todo un abierto de R3, entonces existe X tal que rot (X) = Y

Por eso mi duda.

Muchas gracias!

En respuesta a Pablo Ures De Freitas

Re: Campos de rotores

de Juliana Xavier -

Aqui la palabra clave es "intervalo", que habla de que no es cualquier abierto de R3, sino un cubo.

La propiedad importante que tiene un cubo es que cualquier superficie cerrada que consideres dentro, es el borde de un volumen totalmente contenido en el cubo.  Por ejemplo, un cubo abierto menos un punto es un conjunto abierto, pero no cumple esta propiedad.  

 

Ahora lo que tenes que hacer es entender por que no es cierto que solenoidal implica de rotores para un abierto CUALQUIERA de R3.

En respuesta a Juliana Xavier

Re: Campos de rotores

de Pablo Ures De Freitas -

Aaaaah, okey. Es decir, Y es de rotores en cualquier abierto contenido en un cubo abierto donde Y sea solenoidal (en todos los puntos del cubo).

Por eso, volviendo al campo eléctrico, el flujo a través de una esfera que encierre al (0,0,0) no tiene por qué ser nulo, dado que si bien puedo encontrar un cubo que contenga a la esfera, E no sería solenoidal en todos los puntos del cubo.

Muchísimas gracias!!! 

Saludos