EJERCICIO 5 EXAMEN DICIEMBRE 2007

Re: EJERCICIO 5 EXAMEN DICIEMBRE 2007

de Fernando Tabare Fagundez Da Silva -
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Hola Agusitin te cuento como lo resolvi yo.

Tenemos que encontrar el coeficiente de x10 en la expresión [Σ(2i+1)xi]2 Primero tratamos de encontrar la función generatriz de la expresiñon que esta entre parentesis rectos.

Σ(2i+1)xi = Σ(2ixi+ xi) = 2Σ ixi + Σ xi  

La función generatriz de Σ xi es 1/(1-x). Mientras que la función generatriz de 2Σ ixi es 2x/(1-x)2  .Por lo  tanto buscamos el coeficiente en x10  de

(2Σ ixi + Σ xi)= [2x/(1-x)2 + 1/(1-x)]= [2x/(1-x)2]2 +2[2x/(1-x)2*1/(1-x)] + [1/(1-x)]2

Debemos buscar el coeficiente en x10 en cada uno de los términos de la suma anterior:

[2x/(1-x)2]= 4x2(1-x)-4 Por lo tanto buscamos el coeficiente de x8 en (1-x)-4 ,este es C(4+8-1,8)=C(11,8)= 165 luego multiplicamos por 4 y nos queda que el coeficiente en x10 en este término de la suma es 660.

Ahora buscamos el coeficiente de x10 en

2[2x/(1-x)2*1/(1-x)] = 4x*1/(1-x)3 =4x(1-x)-3 .Buscamos el coeficiente en x9 en (1-x)-3 , este es C(3+9-1,9) = C(11, 9)= 55 nuevamente multiplicamos por 4 y obtenemos 220.

Ahora solo nos resta hallar el coeficiente en x10 de (1/1-x)2 = (1-x)-2 este es:

C(2+10-1,10)=C(11,10)= 11.

Luego sumamos los resultados q obtuvimos: 660+220+11= 891 que es la opción C.

Espero que se entienda, se hizo un poco largo por este método tal vez existe una mejor forma de resolverlo. Saludos.

PD: Todas las sumatorias van desde i=0 hasta ∞.