Hola, tengo problemas para resolver este ejercicio, si alquien me pudiera explicar como hallar el coeficiente de x10 estaria agradecido
Saludos, Agustin
En respuesta a Agustin Guillermo Solla Magallanes
Re: EJERCICIO 5 EXAMEN DICIEMBRE 2007
Hola Agusitin te cuento como lo resolvi yo.
Tenemos que encontrar el coeficiente de x10 en la expresión [Σ(2i+1)xi]2 Primero tratamos de encontrar la función generatriz de la expresiñon que esta entre parentesis rectos.
Σ(2i+1)xi = Σ(2ixi+ xi) = 2Σ ixi + Σ xi
La función generatriz de Σ xi es 1/(1-x). Mientras que la función generatriz de 2Σ ixi es 2x/(1-x)2 .Por lo tanto buscamos el coeficiente en x10 de
(2Σ ixi + Σ xi)2 = [2x/(1-x)2 + 1/(1-x)]2 = [2x/(1-x)2]2 +2[2x/(1-x)2*1/(1-x)] + [1/(1-x)]2
Debemos buscar el coeficiente en x10 en cada uno de los términos de la suma anterior:
[2x/(1-x)2]2 = 4x2(1-x)-4 Por lo tanto buscamos el coeficiente de x8 en (1-x)-4 ,este es C(4+8-1,8)=C(11,8)= 165 luego multiplicamos por 4 y nos queda que el coeficiente en x10 en este término de la suma es 660.
Ahora buscamos el coeficiente de x10 en
2[2x/(1-x)2*1/(1-x)] = 4x*1/(1-x)3 =4x(1-x)-3 .Buscamos el coeficiente en x9 en (1-x)-3 , este es C(3+9-1,9) = C(11, 9)= 55 nuevamente multiplicamos por 4 y obtenemos 220.
Ahora solo nos resta hallar el coeficiente en x10 de (1/1-x)2 = (1-x)-2 este es:
C(2+10-1,10)=C(11,10)= 11.
Luego sumamos los resultados q obtuvimos: 660+220+11= 891 que es la opción C.
Espero que se entienda, se hizo un poco largo por este método tal vez existe una mejor forma de resolverlo. Saludos.
PD: Todas las sumatorias van desde i=0 hasta ∞.