hola, en la clase 8 de jana hay una observacion importante, que dice:
Si C (curva cerrada) contenida en omega , y la integral de Xds en C es distinto de cero. entonces X no es de gradientes.
Mi pregunta es omega es cualquiera, o tiene que ser conexo?
Omega es cualquiera, si existe una curva cerrada C contenida en Omega tal que la circulación de X en C es distinta de cero, entonces X no es de gradientes, no se precisa que Omega sea conexo ni simplemente conexo para que valga esta afirmación.
una oración equivalente a lo dicho en mi mail anterior es:
si un campo es de gradientes en Omega, entonces la circulación de X a lo largo de cualquier curva contenida en Omega es cero, sin importar si Omega es conexo o simplemente conexo
Hola Jana, yo tenía la misma duda. En base a tu respuesta me pregunto, cómo se demuestra que si X es de gradientes entonces la circulación en cualquier curva es cero. ( La curva es cerrada, no?)
Yo siempre que pensaba estas situaciones utilizaba el teorema que vimos en clase de campo conservativo, pero era en dominios conexos. (Entonces primero veía que X era de gradientes y como estaba definido en un conexo podía afirmar que la circulación era cero).
Acabo de releer todas las clases y no vi que gradientes implica circulación cero. Disculpame si está y no lo encontré.
Gracias, saludos
Florencia
Hola, si el campo es de gradientes, sin importar si el dominio es conexo o simplemente conexo tenemos que X=grad f, por lo tanto para cualquier curva, C cerrada o no, uniendo los puntos a y b, tenemos que la int_C Xds= f(b)-f(a),
por el teorema fundamental del cálculo (ver teórico). Ahora, si la curva es cerrada entonces a=b, entonces int_C Xds=f(a)-f(a)=0
esto no usa que omega sea conexo ni simplemente conexo.
saludos y suerte
Muchas gracias! Ahora que estoy revisando las cuentas que hicimso en teórico no usamos que fuera conexo. Saludos.
muchas gracias!