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Si vos planteás Newton así a secas, llegás a una ecuación vectorial:

$m((2R \omega sen \theta \dot \theta-d \omega^2)\hat i+(R \ddot \theta + R \omega^2 sen \theta cos \theta) \hat{e_ \theta}+(-R \dot \theta ^2 -R \omega cos \theta) \hat {e_ r}) = (N_1)\hat i+(-mg cos \theta) \hat{e_ \theta}+(N_2 -mg sen \theta) \hat {e_ r}$

La podés ver así, o la podés ver como un sistema de tres ecuaciones, una según cada versor, es lo mismo.

Multiplicar por $\hat {e_ \theta}$ es lo mismo que decir "me quedo con la componente en $\hat {e _ \theta}$" o "uso la segunda ecuación" si lo ves como un sistema de tres ecuaciones. La multiplicación es solo una manera "elegante" de hacer eso, ya que al multiplicar $\hat {e_r} \hat {e_\theta}$ te da 0, lo mismo con $\hat i \hat {e_\theta}$. Lo importante es que te estás quedando con una ecuación que sólo tiene a theta como variable y podés escribir la ecuación de movimiento. Las otras dos no importan, a no ser que te pidan hallar las reacciones, en ese caso, sí usarías esas. Espero que se entienda. Saludos.