Principio de Modulo Máximo

Principio de Modulo Máximo

de Gabriel Bibbo Frau -
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Buenas. En principio el mensaje es para Cerminara, pero el que lo lea y me pueda contestar le agradezco.

Esta demostración es del libro Serge Lang "Complex Analysis". Supuestamente demuestra el teorema sin usar integrales, y parece bastante simple, pero como no sé que tan correcta está planteada. ¿Falta algún detalle?