Hola, el problema me pide calcular el mínimo valor de: a real que hace mínimo el volumen de revolución de la función f(x)= √(ln(1+x^2 ) en el intervalo (a, a+1).
Mi duda es si lo integro con respecto al parámetro a, o me conviene usar el Teorema fundamental? No estoy seguro de como hacerlo.
Saludos.
El volumen del sólido de revolución es:
$$V(a) = \int_a^{a+1}\pi f^2(x)\,\mathrm{d}x=\pi\int_a^{a+1}\ \log(1+x^2)\,\mathrm{d}x$$
Los candidatos a mínimo se hallan imponiendo:
$$\frac{\mathrm{d}V(a)}{\mathrm{d}a}=0$$
Ahora, por teo. fundamental, la derivada de $$V(a)$$ respecto de $$a$$ es:
$$\frac{\mathrm{d}V(a)}{\mathrm{d}a}=\log(1+(a+1)^2)-\log(1+a^2)=\log\left(\frac{1+(a+1)^2}{1+a^2}\right)$$
Entonces:
$$\frac{\mathrm{d}V(a)}{\mathrm{d}a}=0 \Leftrightarrow \log\left(\frac{1+(a+1)^2}{1+a^2}\right)=0 \Leftrightarrow \frac{1+(a+1)^2}{1+a^2}=1\Leftrightarrow a=-\frac{1}{2}$$
Para ver que efectivamente es un mínimo, basta ver que la derivada del volumen es negativa si $$a<-1/2$$ y es positiva si $$a>-1/2$$.
Saludos
Ahi va, muchas gracias, despues me fije lo que comentamos en la clase y quedo.
Saludos