La letra pide aplicar el TVM en el intervalo $$[-\pi,\pi]$$, por lo que en este caso no es correcto aplicar el TVM en el $$[-\pi,0]$$ y en el $$[0,\pi]$$. En el $$[-\pi,\pi]$$, el TVM queda:
$$\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,\mathrm{d}x=f(c)[\pi-(-\pi)]=2\pi f(c)$$
con $$c\in[-\pi,\pi]$$. Como tenés la fórmula de $$f(x)$$ podés hallar la integral:
$$\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,\mathrm{d}x=\int_{-\pi}^{0}f(x)\,\mathrm{d}x+\int_{0}^{\pi}f(x)\,\mathrm{d}x=\int_{-\pi}^{0}-\frac{\pi}{2}\sin(x)\,\mathrm{d}x+\int_{0}^{\pi}\frac{x}{\pi}\,\mathrm{d}x$$
$$\Rightarrow \int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,\mathrm{d}x=\frac{\pi}{2}(\cos(0)-\cos(-\pi))+\frac{\pi^2}{2\pi}=\frac{3}{2}\pi$$
Entonces:
$$\frac{3}{2}\pi=2\pi f(c)\Rightarrow f(c)=\frac{3}{4}$$
Podés resolver esa ec. discutiendo según $$c$$. Si $$c \geq 0\Rightarrow f(c)=\frac{c}{\pi}$$:
$$\frac{c}{\pi}=\frac{3}{4}\Rightarrow c=\frac{3}{4}\pi$$
Si $$c<0 \Rightarrow f(c)=-\frac{\pi}{2}\sin(c)$$:
$$-\frac{\pi}{2}\sin(c)=\frac{3}{4}\Rightarrow \sin(c)=-\frac{6}{4\pi}$$
Para ver que esa ec. tiene solución, lo primero a notar es que $$-1<-\frac{6}{4\pi}<0$$. Entonces, la ecuación $$\sin(c)=-\frac{6}{4\pi}$$ tiene 2 soluciones en el $$[-\pi,0]$$. Una forma fácil de verlo es dibujar el círculo trigonométrico y observar que la recta $$y=-\frac{6}{4\pi}$$ corta 2 veces el círculo, y que ambos cortes se dan para ángulos en $$[-\pi,0]$$.
Saludos