El resultado correcto es el segundo. La integral puede resolverse haciendo el cambio de variable:
$$u=\sqrt{4+x^2}\Rightarrow \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}$$
Así, la integral queda:
$$\int\frac{1}{x\sqrt{4+x^2}}\,\mathrm{d}x=\int\frac{x}{x^2\sqrt{4+x^2}}\,\mathrm{d}x= \int\frac{1}{u^2-4}\,\mathrm{d}x$$
Esa integral la podés resolver con fracciones simples:
$$\frac{1}{u^2-4}=\frac{1}{(u+2)(u-2)}=\frac{1/4}{u-2}-\frac{1/4}{u+2}$$
Entonces:
$$\int\frac{1}{x\sqrt{4+x^2}}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{4}\left[\ln\left(\sqrt{4+x^2}-2\right)-\ln\left(\sqrt{4+x^2}+2\right)\right]$$
Para ver que es igual a lo que te dió Wolfram, acordate que la resta de logaritmos es el logaritmo del cociente:
$$\frac{1}{4}\left[\ln\left(\sqrt{4+x^2}-2\right)-\ln\left(\sqrt{4+x^2}+2\right)\right]=\frac{1}{4}\ln\left(\frac{\sqrt{4+x^2}-2}{\sqrt{4+x^2}+2}\right)$$
Multiplicando y dividiendo por $$\sqrt{4+x^2}+2$$ adentro del logaritmo:
$$\frac{1}{4}\left[\ln\left(\sqrt{4+x^2}-2\right)-\ln\left(\sqrt{4+x^2}+2\right)\right]=\frac{1}{4}\ln\left(\frac{\sqrt{4+x^2}-2}{\sqrt{4+x^2}+2}\,\frac{\sqrt{4+x^2}+2}{\sqrt{4+x^2}+2}\right)=\frac{1}{4}\ln\left(\frac{x^2}{(\sqrt{4+x^2}+2)^2}\right)$$
Recordando que $$a\ln (b)=\ln\left(a^b\right)$$
$$\frac{1}{4}\left[\ln\left(\sqrt{4+x^2}-2\right)-\ln\left(\sqrt{4+x^2}+2\right)\right]=\frac{1}{4}\ln\left(\frac{x^2}{(\sqrt{4+x^2}+2)^2}\right)=\frac{1}{2}\ln\left(\frac{|x|}{\sqrt{4+x^2}+2}\right)=\frac{1}{2}\left[\ln(|x|)-\ln(\sqrt{4+x^2}+2)\right]$$
Saludos