Hola, buenas tardes! Quería saber si alguien que haya hecho bien este ejercicio, me podía explicar por qué la opción correcta es la "B" y no la "D".
La Opcion "B" dice que para n=1 en más, I es verdadera. Y yo lo probé con n=1,n=2,n=3,n=4,n=5 y n=6 y verifiqué que es verdadera a partir de n=2.
Es decir, si mis calculos son correctos, la opción "A "no sería la correcta (Verdadera para n=1 en más), la "B" tampoco, la "C" tampoco (I no es falsa para n=2, en mas), ni tampoco la "E", ya que dice que (I) es falsa a partir de n=5.
Agradecería si me lo pudieran explicar!
Gracias!!
En respuesta a Santiago Gongora De La Fuente
Re: Ejercicio 2- Sumatorias
Para n = 1 (I) 1/2 = 1- 1/2 ----> 1/2 = 1/2 por lo tanto con n = 1 tambien es verdadera.
Con respecto a porque no es la D, si no recuerdo mal para n = 8 (II) es verdadera tambien.
En respuesta a Mathias Sebastian Martinez Fernandez
Re: Ejercicio 2- Sumatorias
Jaja claro, 1/2 = 1- 1/2 jaja.
Gracias!!
En respuesta a Santiago Gongora De La Fuente
Re: Ejercicio 2- Sumatorias
En respuesta a Santiago Gongora De La Fuente
Re: Ejercicio 2- Sumatorias
Yo quiero saber como podía verificar que II se cumplía después de 8, porque la única forma de descartar entre B y D era verificando en algún número mayor o igual a 8 pero la verdad que mi mente no pudo sin una calculadora.
Y por suponer cosas terminé poniendo la que no tenía que poner y quedé quemado.
En respuesta a Sebastian Passaro Pereira
Re: Ejercicio 2- Sumatorias
Y si usamos algo de Induccion se podria resolver?
Justamente, la idea es aplicar inducción. Por ej, para la propiedad (II), con $$n= 1$$:
$$\sum\limits_{i=1}^{1}\frac{1}{\sqrt{i}}=1$$
Que no es mayor que $$\sqrt{n}=1$$, por lo que la propiedad no es cierta para $$n=1$$. Para $$n= 2$$:
$$\sum\limits_{i=1}^{2}\frac{1}{\sqrt{i}}=1+\frac{1}{\sqrt{2}}$$
Para ver si eso es más grande que $$\sqrt{n}=\sqrt{2}$$, se puede escribir:
$$1+\frac{1}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}+1+\frac{1}{\sqrt{2}}-\sqrt{2}=\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}+1-2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}$$
Entonces, $$1+\frac{1}{\sqrt{2}}$$ se puede escribir como $$\sqrt{2}$$ más algo positivo ($$\sqrt{2}-1$$ es positivo ya que $$\sqrt{2}>1$$), por lo que efectivamente la propiedad (II) es cierta para $$n=2$$.
Ahora, vamos a probar que si la propiedad es cierta hasta un cierto natural $$n$$, es cierta hasta el siguiente natural $$n+1$$ (lo que en Inducción llamamos Paso Inductivo)
Hipótesis: $$\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{i}}>\sqrt{n}$$
Tesis: $$\sum\limits_{i=1}^{n+1}\frac{1}{\sqrt{i}}>\sqrt{n+1}$$
Para demostrarlo, se puede plantear:
$$\sum\limits_{i=1}^{n+1}\frac{1}{\sqrt{i}}=\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{i}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}>\sqrt{n}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}$$
De nuevo, para ver si a lo que llegamos es mayor que $$\sqrt{n+1}$$, se puede escribir:
$$\sqrt{n}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}=\sqrt{n+1}+\sqrt{n}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}-\sqrt{n+1}=\sqrt{n+1}+\frac{\sqrt{n(n+1)}+1-n-1}{\sqrt{n+1}}=\sqrt{n+1}+\frac{\sqrt{n(n+1)}-n}{\sqrt{n+1}}$$
El término $$\sqrt{n(n+1)}=\sqrt{n^2+n}$$ es mayor que $$\sqrt{n^2}=n$$, por lo que:
$$\sum\limits_{i=1}^{n+1}\frac{1}{\sqrt{i}}>\sqrt{n+1}$$
La propiedad (I) también puede demostrarse por inducción.
Saludos
Y por esto voy al práctico de Marenco