Se sabe que el polinomio P(z)= z^5 - 7z^4 + 21z^3 -33z^2 + 28z -10 tiene una raiz compleja z0 que cumple |z0|= √2 Arg(z0) = 7π/4.
Con estos datos puedo saber que z0= 1-i. Eso esta bien?
Porque tomando ese z0, se que todo polinomio de coeficientes reales si tiene una raiz compleja admite la conjugada. Tambien puedo hacer Ruffini para seguir obteniendo raices no?
No leí la letra del ejercicio, pero te confirmo que las dos cosas que decís a continuación son correctas.
Si un polinomio admite una raíz completa, también admite su conjugada.
Y eventualmente podrías bajar por Ruffini para sacar mas raíces, aunque, como no leí el ejercicio, nosé decirte si sería una estrategia adecuada...
Si, el problema es que hice todo. Pero cuando bajo por Ruffini no llego al resultado.
Gracias igual!!
me paso lo mismo baje todo por ruffini y llege a cualquier cosa
ese polinomio tiene raiz 1 tambien
hice ruffini de
1 -7 21 -33 28 -10
1
y me dio 1 -6 15 -18 10
le volvi a hacer ruffini con el polinomio 1-1i
y me dio 1 -5-1i 9+4i -5-5i
por ultimo lo baje por el conjugado
con lo que tube z^2-4z+5
le hice bascara y me dieron las raices complejas 2+2i 2-2i
con lo que las 5 raices que consegi fueron
1
1-1i
1+1i
2+2i
2-2i
y con esos resultados ninguna de las afirmaciones que dice es verdad
para mi tiene que haber otra forma de hacerlo porque para conseguir la raiz 1-1i
tube que hacer a=$$ \sqrt{2} $$*cos(7pi/4) y
b=$$ \sqrt{2} $$*sen(7pi/4)
para hacer eso use la calculadora por lo que supongo que esta mal
Me parece que bajar por Ruffini no es una estrategia del todo ventajosa en este caso. Fijate que ya conocés una raíz, y con ella te viene de regalo la conjugada. Además tenés una raíz evidente. Usando esas tres raíces, podés fijarte si la afirmación II y III son ciertas.
La afirmación I, sino me equivoco es falsa. Te das cuenta el porqué?
La afirmación IV tendría que pensarla un poco más :P
Agrego: No lo hice, pero en la afirmación IV, si demostrás o que la II es cierta o que la III es cierta, podés usar eso para verificar si tiene una raíz cuyo módulo sea sqrt(5).
(que de hecho mirando como están mapeadas las opciones, al descartar la I, es seguro que la II o la III es cierta, así que seguro usás ese dato).
como te diste cuenta que la 1 es falsa?
lo unico que sabes es que tiene 1 real y dos imaginarias
podria tener otra real y otra imaginaria
como haces para chequar con esas 3 raices si es divisible entre esos 2 polinomios?
La afirmación I dice: P tiene dos raices reales y tres raices con parte imaginaria no nula.
P tiene grado 5, así que si tiene 3 raíces con parte imaginaria no nula (es decir, tres raíces complejas) y como las raíces complejas vienen con su conjugada de "regalo", o bien esas tres raíces vienen con su conjugada (por lo que tendría 6 raíces, cosa que P no admite por ser de grado 5) o es falsa.
Meeee parece que este razonamiento es válido, pero que me corrija alguien si ve que cometo un error.
Buenas,
como bien decís, una raíz del polinomio es $$z_0=1-i$$ es raíz, por lo tanto $$\bar{z_0}=1+i$$ también es raíz. Entonces, el polinomio $$P(z)$$ puede escribirse como:
$$P(z)=\left(z-(1-i)\right)\left(z-(1+i)\right)(z^3+az^2+bz+c)=(z^2-2z+2)(z^3+az^2+bz+c)$$
y entonces $$P(z)$$ es divisible entre $$Q(z)=(z^2-2z+2)$$. Para sacar los coeficientes a b y c, plantéas igualdad de polinomios:
$$P(z)=(z^2-2z+2)(z^3+az^2+bz+c)\\ z^5 - 7z^4 + 21z^3 -33z^2 + 28z -10=(z^2-2z+2)(z^3+az^2+bz+c)\\z^5 - 7z^4 + 21z^3 -33z^2 + 28z -10= z^5+z^4(a-2)+z^3(b-2a+2)+z^2(c-2b+2a)+z(-2c+2b)+2c$$
De donde sale $$a=-5\text{ , } b = 9\text{ y } c=-5$$. Si te fijás, el polinomio $$z^3-5z^2+9z-5$$ tiene raíz 1, por lo que bajando por Ruffini:
$$z^3-5z^2+9z-5=(z-1)(z^ 2-4z+5)$$
Las últimas 2 raíces las podés hallar haciendo Bháskara:
$$z=\frac{4\pm\sqrt{16-20}}{2}=\frac{4\pm2i}{2}=2 \pm i$$
ahi va perfecto
muchas gracias a los dos