Buenas, traté con unos compañeros de encarar estos ejercicios, pero no sabemos ni cómo empezar. La idea podría ser escribir 0 de una forma que se eliminen ciertos sumandos y quede algo coherente, pero no tenemos idea...
Buenas,
te conviene pensar en la definición de derivada. Esta dice que una función $$f$$ es derivable en un punto $$x_0$$ de su dominio si el siguiente límite existe y es finito:
$$\lim\limits_{u \to 0} \frac{f(x_0+u)-f(x_0)}{u}$$
Entonces, en estos ejercicios tenés que ver si podés relacionar los límites que te dan con el límite que define la derivada. Por ej, en el 3 podés pensar en escribir:
$$u=2h\Rightarrow u \rightarrow 0 \text{ cuando } h \to 0$$
Así el límite dado por la letra queda:
$$\lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x_0+2h)-f(x_0)}{h}=\lim\limits_{u \to 0} \frac{f(x_0+u)-f(x_0)}{\frac{u}{2}}$$
Por lo tanto, si el término de la izquierda tiene un límite finito K:
$$\lim\limits_{u \to 0} \frac{f(x_0+u)-f(x_0)}{u}=\frac{K}{2}$$
y entonces por definición la función es derivable en $$x_0$$ y su derivada vale K/2.
Para el 4, podés pensar en sumar y restar $$g(x_0)$$ al numerador.
Saludos
Gracias por la respuesta, entendí y ya me dieron los ejercicios!
Ok, entonces ahora considerá la siguiente función
$$g(x)=\begin{cases} x^2 & \text{, si } x \neq 0 \\ 3 & \text{, si } x = 0 \end{cases}$$
Esta función no es continua en 0, por lo tanto no es derivable en 0. Ahora, el límite del ejercicio 4 con $$x_0=0$$ da:
$$\lim \limits_{h \to 0}\frac{g(0+h)-g(0-h)}{h}=\lim\limits_{h \to 0}\frac{g(h)-g(-h)}{h}=\lim\limits_{h \to 0}\frac{h^2-h^2}{h}=0$$
Así, si el ej 4 es cierto resulta que $$g$$ es derivable en 0, lo que es contradictorio con el hecho que $$g$$ no es continua en 0 (y por lo tanto no derivable)...¿Resulta cierto entonces que si el límite del ejercicio 4 te da un real la función es derivable en $$x_0$$?