Buenas,
una forma de verlo es escribir:
$$\frac{-1/2}{n+1}+\frac{2}{n+2}+\frac{-3/2}{n+3}=\frac{-1/2}{n+1}+\frac{1/2+3/2}{n+2}+\frac{-3/2}{n+3}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+1}\right)+\frac{3}{2}\left(\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}\right)$$
De esa manera, te quedan dos términos que corresponden a series telescópicas, por lo que es simple ver cuánto da la suma reducida:
$$\sum_{n=1}^k \frac{n}{(n+1)(n+2)(n+3)}=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^k\left(\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+1}\right)+\frac{3}{2}\sum_{n=1}^k\left(\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}\right)=\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}+\frac{1}{k+2}\right)+\frac{3}{2}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{k+3}\right)$$
Haciendo k tender a infinito se halla el valor de la suma:
$$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n}{(n+1)(n+2)(n+3)}=-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$$
Saludos