alguien lo pudo resolver? Logre probar que es convergente, pero no se por donde empezar el calculo de la convergencia.
Gracias.
En respuesta a Jose Ignacio Brugnoli Alem
Re: Ejercicio 1, f. Practico 4.
Te das cuenta de lejos que eso lo podes escribir de forma que te quede una telescópica.
Tenés que escribir $$ \frac {n}{(n+1)(n+2)(n+3)} $$ como $$ \frac {A}{n+1} + \frac {B}{n+2} + \frac {C}{n+3} $$ .
Ahi haces comun denominador y sumas. Lo que te quede en el numerador sabés que es igual a n porque es como estaba escrita originalmente la serie. Usas igualdad de polinomios y conseguis el valor de A, B y C. También la forma de tu telescópica.
Y ahi bueno, mirás del $$ a_1 $$ en adelante hasta que veas el patrón de los que se van eliminando en la suma. De ahi en adelante es como resolver cualquier telescópica, como la de la parte e.
En respuesta a Sebastian Passaro Pereira
Re: Ejercicio 1, f. Practico 4.
Gracias por responder. De eso tambien me di cuenta, mi problema puntualmente es como sacar A B y C.
En respuesta a Jose Ignacio Brugnoli Alem
Re: Ejercicio 1, f. Practico 4.
Para encontrar A, B y C se hace común denominador:
$$ \frac {A(n+2)(n+3) + B(n+1)(n+3) + C(n+1)(n+2)}{(n+1)(n+2)(n+3)} $$
Aplicando distributiva nos queda un chorizo así:
$$ \frac {An^{2}+5An+6A+Bn^{2}+4Bn+3B+Cn^{2}+3Cn+2C}{(n+1)(n+2)(n+3)} $$
Se saca factor común $$ n^{2} $$,n y lo que forma el término independiente:
$$ \frac {n^{2}(A+B+C)+n(5A+4B+3C)+(6A+3B+2C)}{(n+1)(n+2)(n+3)} $$
Por igualdad de polinomios nos queda el sistema de 3x3 siguiente:
A+B+C=0
5A+4B+3C=1
6A+3B+2C=0
Resolviendo el sistema nos queda A=$$ -\frac {1}{2} $$, B=2 y C=$$ -\frac {3}{2} $$
Se cambia en la sumatoria del principio y la telescópica es:
$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac {-\frac {1}{2}}{n+1}+\frac {2}{n+2}+\frac {-\frac {3}{2}}{n+3} $$
Ahora desarrollá los términos y ves cuales se eliminan :D
En respuesta a Sebastian Passaro Pereira
Re: Ejercicio 1, f. Practico 4.
Cuando se desarrolla ésta última serie para, por ejemplo, n = 6, da una apariencia que todos los primeros términos se anularían con los segundos, pero entonces resta el último término y no se ve claramente a qué número converge la serie. ¿Hay alguna forma de que se vea claramente la suma S?
La calculadora gráfica que tengo muestra S = 1/4.
Buenas,
una forma de verlo es escribir:
$$\frac{-1/2}{n+1}+\frac{2}{n+2}+\frac{-3/2}{n+3}=\frac{-1/2}{n+1}+\frac{1/2+3/2}{n+2}+\frac{-3/2}{n+3}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+1}\right)+\frac{3}{2}\left(\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}\right)$$
De esa manera, te quedan dos términos que corresponden a series telescópicas, por lo que es simple ver cuánto da la suma reducida:
$$\sum_{n=1}^k \frac{n}{(n+1)(n+2)(n+3)}=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^k\left(\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+1}\right)+\frac{3}{2}\sum_{n=1}^k\left(\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}\right)=\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}+\frac{1}{k+2}\right)+\frac{3}{2}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{k+3}\right)$$
Haciendo k tender a infinito se halla el valor de la suma:
$$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n}{(n+1)(n+2)(n+3)}=-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$$
Saludos