Duda de teórico: proposición 24 del capítulo 1 de las notas

Duda de teórico: proposición 24 del capítulo 1 de las notas

de Usuario eliminado -
Número de respuestas: 3

Dice: sean a, b números reales tales que $$a \le b+ \epsilon, \forall \epsilon >0 \Rightarrow a \le b$$

Es realmente cierto esto $$ \forall \epsilon >0$$?, o sea, entiendo que $$ \epsilon $$ se usa generalmente para números muy pequeños, pero si dice $$ \forall \epsilon >0$$ debería cumplirse para  $$a:=5,b:=3, \epsilon :=7$$ por ejemplo no?, o yo estoy interpretando mal la proposición?

La demostración la entiendo pero usa un $$ \epsilon $$ en particular, ahí obviamente se llega a un absurdo.

Saludos y gracias.
En respuesta a Usuario eliminado

Re: Duda de teórico: proposición 24 del capítulo 1 de las notas

de Jorge Nicolas Rijo Toral -

La proposición está bien, y en tu ejemplo, a = 5, b = 3, con $$\epsilon$$ = 7 se cumple, pero con $$\epsilon$$ = 1 ya no se cumple, por eso no se puede decir que a $$\leq$$ b porque para al menos un $$\epsilon$$ no se cumple, de ahí que pida en la proposición que se cumpla $$\forall \epsilon$$ > 0, no importa que tan pequeño lo elijas siempre se cumple la desigualdad.

En la demostración se usa un $$\epsilon$$ en particular, porque para las demostraciones por absurdo se niega la tesis, y para negar un $$\forall$$ se usa un $$\exists$$ al menos uno, entonces con encontrar un solo $$\epsilon$$ en particular ya llegas al absurdo y no es necesario más.

No se si entiendes o al final te entreveré más, cualquier duda, pregunta de nuevo.

Saludos
En respuesta a Jorge Nicolas Rijo Toral

Re: Duda de teórico: proposición 24 del capítulo 1 de las notas

de Usuario eliminado -

Discúlpame, debo de estar mal pero sigo sin entender jaja. Mi ejemplo cumple la hipótesis, o sea $$a \le b+ \epsilon $$  ($$5 \le 3+7$$) para un $$ \epsilon >0$$ pero no cumple que $$a \le b$$, o sea hay un $$ \epsilon $$ con el que no se cumple la proposición. Se cumple para algunos pero no para todos los $$ \epsilon $$'s. 

Igual no te preocupes mucho, cualquier cosa le pregunto a un profe de práctico, gracias por responder.
En respuesta a Usuario eliminado

Re: Duda de teórico: proposición 24 del capítulo 1 de las notas

de Jorge Nicolas Rijo Toral -

Jajaja no pasa nada, estamos para aprender, la proposición habla que es seguro que $$a \le b$$ si $$\forall \epsilon > 0$$ se cumple que $$a \le b + \epsilon$$ 

Tu ejemplo no cumple la hipótesis, porque para cumplirla no alcanza con un solo $$\epsilon$$ se tiene que cumplir como dice la hipótesis $$\forall \epsilon$$ > 0 no importa si es 7 o 1 0,000001 (estos últimos dos valores ya hacen que no se cumpla tu hipótesis, entonces la tesis no tiene porque cumplirse, debes buscar un ejemplo que cumpla las hipótesis. Si en el ejemplo que pienses hay al menos un $$\epsilon$$ que no cumple, entonces ya no se cumple la hipótesis.

No se si ahora se habrá entendido jaja, saludos.