Duda teórica Formas exactas

Duda teórica Formas exactas

de Franco Arturo Toscano Cannella -
Número de respuestas: 3

Más allá de la definición de forma exacta. Existe algún teorema que me garantice a partir de ciertas hipótesis q una forma es exacta?

Por lo q tengo entendido lo único q puedo hacer es intenatar adptar la definición a lo q ya sabemos q si tengo una 0-forma w lo q me garantiza la existencia de una d(a)=w es que admita un potencial escalar (que sea de gradientes) y si tengo una 1-forma analogamente es q acepte un potencial vector (que admita un rotor).

Ahora bien si tengo que una k-forma que sé que es cerrada  existe alguna hipótesis q me garantice q la forma sea exacta?

En respuesta a Franco Arturo Toscano Cannella

Re: Duda teórica Formas exactas

de Bruno Yemini -

Hola, primero una corrección: en lo que dijiste, w es 1-forma, y lo segundo (lo que debería tener "potencial vector") es una 2-forma.

Bien, las hipotesis esas son generales, o sea, una k-forma cerrada es exacta si su dominio es contractible (lo podemos colapsar continuamente a un punto). Se conoce como el Lema de Poincaré. Si te fijás, son las mismas hipotesis que garantizan que un irrotacional sea de gradiente, o que un solenoidal tenga potencial vector.

En respuesta a Bruno Yemini

Re: Duda teórica Formas exactas

de Franco Arturo Toscano Cannella -

Gracias por la respuetsa pero ahora me pregunto los siguiente:

que un dominio sea contractible es equivalente a decir q sea simplemente conexo? 

Y para q un solenoidal tenga un potencial vector vimos que tenía q ser de clase C1 en una conjunto D=(a,b)x(c,d)x(e,f) que por lo q entiendo es más q simplemente conexo xq es con forma de prisma.

En respuesta a Franco Arturo Toscano Cannella

Re: Duda teórica Formas exactas

de Bruno Yemini -

que un dominio sea contractible es equivalente a decir q sea simplemente conexo?

Más o menos, hay unas pequeñas diferencias. Pero no es la idea del curso hilar tan fino en estos aspectos topológicos.

 


Y para q un solenoidal tenga un potencial vector vimos que tenía q ser de clase C1 en una conjunto D=(a,b)x(c,d)x(e,f) que por lo q entiendo es más q simplemente conexo xq es con forma de prisma.

Cierto. Pero con la correspondencia campo formas podés usar los resultados de formas para ampliar ese resultado.


Tengo que aclarar que el Lema de Poincaré no fue algo que hayamos visto en el curso. Lo mencioné porque preguntaste. :)