En las respuestas se marca la opción A como correcta, pero no entiendo por qué se descarta la posibilidad de que la función sea sobreyectiva. ¿No podría existir una función continua f:[0,2]→(0,5) que, cumpliendo las condiciones f(0)=1, f(1)=4 y f(2)=3, alcanzara valores tan cercanos a los extremos del codominio (0,5) en algún punto intermedio del dominio [0,2]?
Primer parcial, segundo semestre 2020, ejercicio 4
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En respuesta a Bruno Emiliano Benitez Fiure
Re: Primer parcial, segundo semestre 2020, ejercicio 4
Hola, es correcto descartar la sobreyectividad.
Una forma de pensarlo es ver que tenemos una función continua definida en un cerrado \( [0,2] \), así que estamos en las hipótesis del teorema de Weierstrass, que nos dice que tiene que existir en \( \exists x_m, x_M \in [0,2] / f(x_m)\leq f(x) \leq f(x_M) \forall x \in [0,2] \), es decir existe un mínimo\( m \) y un máximo \( M \) .
De eso último sabemos que si tenemos una función continua definida en un cerrado \( [a,b] \), entonces la imagen de \( f \) es también un cerrado \( Im(f)=[m,M] \). Ahora nos queda pensar si hay algún \( m \) y \( M \) que haga que la función sea sobreyectiva.
Por poner un ejemplo supongamos que \( M=4,999 \) (intentando acercarnos a \( 5 \) ), en ese caso tenemos que \( 4,9999 \in (0,5) \) pero \( 4,9999 \notin Im(f) \) así que la función no es sobreyectiva. En general podemos decir que no hay forma de que el cerrado \( [m,M]=(0,5) \), que es justamente la condición para tener una función sobreyectiva.