Consultas sobre ejercicios de pruebas anteriores

Hola, hay varios errores. 
Primero que nada te falta la sumatoria, \( \sum_{i=0}^{n-1}(a_{i+1}-a_i) \cdot sup(f,[a_i,a_{i+1}]) \) .

Despues, en el tercer renglón estas diciendo que \( a_{i+1}+a_i=a_i + \frac{1}{n} \) , y eso no es cierto, lo que sí es cierto es \( a_{i+1}= a_i + \frac{1}{n} \) .

Para resolver el ejercicio vas a tener que desarrollar la expresión para la suma superior, para la suma superior, y luego plantear la resta de ambas, todo esto usando una partición equiespaciada. Una vez que tengas una expresión para la resta de la suma sup y la suma inf te puede ser útil el resultado \( \sum_{i=1}^{n}i=\frac{n(n+1)}{2} \).

Al final vas a tener una expresión de la resta de la suma superior e inferior que depende unicamente de \( n \) , y ahí tenes que buscar cual es el primer natural que verifica la condición que pide el ejercicio.