Foro para preguntas de Inducción Completa

Aclaración para el resto: en el paso inductivo, Florencia asume que la propiedad se cumple hasta $k-1$, y luego va a probar que se cumple para $k$, que es el valor que le sigue a $k-1$. Esto es válido, pero aclaro por las dudas porque creo que es inusual.

Comentarios sobre tu solución al ejercicio:

Deberías escribir al inicio cuál es la propiedad que querés probar, y decir que para probarlo vas a usar inducción fuerte.

La hipótesis de inducción está un poco confusa. En particular:

1. Escribiste $n=k$ y después decís que $n>k$.
2. Asumiste $k-1 \geq 2$. Sin embargo, en el paso base probaste la propiedad $P(m)$ para $m=0$ solamente. Por lo tanto, el paso inductivo debería comenzar desde $k-1 \geq 0$, que es el último (y único) valor de $m$ para el cual tenés probada la propiedad en el paso base.
3. Si querés asumir $k-1 \geq 2$ en el paso inductivo, en el paso base tendrías que probar $P(m)$ para: $m=0,1,2$. En este ejemplo basta con asumir $k-1 \geq 1$, con lo cual basta con probar el paso base para $m=0$ y $m=1$.
4. Finalmente, no es necesario que escribas la igualdad $p_{k-1} = 3 p_{k-2} - 2 p_{k-3}$ al plantear la hipótesis de inducción. No es esa la propiedad que se quiere probar, sino que es algo que ya sabemos que se cumple, porque es dato de la letra.

Demostración:

1. Usaste la siguiente igualdad: $p_k = 3 p_{k-1} - 2 p_{k-2}$. Por letra, esta igualdad es cierta solamente cuando $k \geq 2$. Es decir: $k-1 \geq 1$. Sin embargo, dado que en el paso base sólo probaste $P(m)$ para $m=0$, en la hipótesis de inducción tenés que considerar $k-1 \geq 0$. Esto último es lo mismo que te dije en los comentarios sobre la hipótesis de inducción.
2. En la conclusión final deberías decir que se cumple $p_n = 2^{n+2}-1$, para todo $n$ natural, con $n \geq 0$.

Cualquier duda preguntá de nuevo.

Te comento sobre lo que está en tu imagen adjunta.

Paso base: corresponde que digas "probamos" en lugar de "verificamos".

Hipótesis inductiva:

1. Deberías aclarar que vas a fijar un $k$ natural, con $k \geq 1$; siendo 1 el valor más grande para el cual probaste la propiedad en el paso base.
2. Por otro lado, asumís que la propiedad $P(n)$ se cumple para $n=k$ y $n=k-1$. Esto es cierto, y va a ser suficiente para este ejercicio. Solamente te aclaro que en la hipótesis de inducción fuerte lo que se asume es que $P(n)$ vale para todo $0 \leq n \leq k$, y no sólo para $n=k$ y $n=k-1$.

Tesis inductiva:

1. Al inicio decís que vas a probar la propiedad para $n=k+1$. Más adelante decís: "Sustituimos en la hipótesis inductiva $p_n = 2^{n+2}-1$". Es decir: $p_{k+1} = 2^{k+3}-1$. Pero esta es la igualdad que querés probar, y no lo que asumís como hipótesis. Deberías aclarar que esa expresión es a la cual querés llegar, y no algo que estás asumiendo como cierto. Porque sino genera confusión.
2. En el final afirmás que: "Como la hipótesis inductiva y la ecuación de recurrencia coinciden..." A esta afirmación no le veo sentido. Lo correcto sería decir que probaste la igualdad $p_{k+1}= 2^{k+3}-1$, que es lo que querías probar (la propiedad $P(n)$ para $n=k+1$).

Cualquier duda pregunta de nuevo.

Buenas.

Te comento sobre tu solución.

Paso base:

Solamente escribiste igualdades del tipo: $2^{0+2}-1=3$. Lo correcto sería que digas algo del tipo: La propiedad $P(n)$, evaluada en $n=0$, afirma que: $p_0 = 2^{0+2}-1=3$. Por otro lado, por letra, sabemos que $p_0=3$. Por lo tanto, se concluye que se cumple la propiedad para $n=0$.

Lo mismo para los otros valores de $n$ que usaste. En este ejemplo es suficiente con probar el paso base para $n=0$ y $n=1$.

Paso inductivo:

Conviene que aclares qué quiere decir lo que escribiste al inicio de este paso. Interpreto que estás asumiendo que la propiedad $P(m)$ se cumple para todo $m$ natural, con $0 \leq m \leq 2^{n+2}-1$. Y que vas a probar que esto implica que se cumple $P(2^{n+3}-1)$. Si es así, entonces no es correcto. Lo que deberías decir es algo del tipo:

Fijo un $k$ natural, con $k \geq 2$ (que es el valor más grande para el cual probaste la propiedad en el paso base), y asumo que se cumple $P(m)$ para todo $m$ natural, tal que: $0 \leq m \leq k$. Voy a probar que se cumple $P(k+1)$.

Cualquier duda preguntá de nuevo.