Hola, ayer después de la clase me preguntaron el ejercicio 6 de las notas.
Me dio que 5 estudiantes tienen previas que no repiten ni tienen todos los textos, y que de todo el grupo 11 estudiantes tienen previas.
Para resolverlo consideré los conjuntos:
X={todos los estudiantes}
A={estudiantes que repiten}
B={estudiantes que tienen todos los textos}
C={estudiantes que responden que no a las 3 preguntas}
P={estudiantes que tienen previas}
La primer pregunta es A^c \cap B^c\cap P
Primero observo que A^c \cap B^c\cap P = A^c \cap B^c\cap C^c
Es decir que los estudiantes que no repiten ni tienen todos los textos y tienen previas, son los mismos que los estudiantes que no repiten ni tienen todos los textos y responden que si a al menos una pregunta
Por otro lado #A^c \cap B^c\cap C^c = #A^c \cap B^c -#C porque C \subset A^c \cap B^c
#C = 17 por letra, por lo tanto #A^c \cap B^c\cap C^c = #A^c \cap B^c -17
Ahora para calcular #A^c \cap B^c observo que A^c \cap B^c = (A\cup B) ^c y por lo tanto #A^c \cap B^c = 43 - #A\cup B
Por otro lado, #A\cup B = #A +#B -#A\cap B = 12 + 15 - 6 = 21 (por letra)
Conclumimos que #A^c \cap B^c = 43-21= 22
Recordar que nos preguntaban #A^c \cap B^c -#C = 22-17 = 5, osea 5 estudiantes tienen previas que no repiten ni tienen todos los textos.
Ahora nos falta responder la otra pregunta.
Considero el conjunto D={estudiantes que responden que si a solo dos preguntas} y observo que
D= A\cap P \cup B\cap P \cup A\cap B -{1}
Es decir, si respondieron solo dos preguntas, o bien respondieron que si a repite y a tiene todos los textos, o bien a tiene todos los textos y tiene previa, o bien a repite y tiene previa. El -{1} corresponde a quitar al único estudiante que respondió afirmativamente a todas las preguntas y así obtener la igualdad de conjuntos.
Por lo tanto tenemos 10 = #D = #((A\cup B)\cap P) + #A\cap B - #A\cap B\cap P \cap (A\cup B) -1
Osea 10 = #D= #((A\cup B)\cap P) +6 -1 -1 = #((A\cup B)\cap P) + 4
Por lo tanto #((A\cup B)\cap P) = 6
Como podemos escribir X = (A\cup B) \cup (A\cup B)^c y la unión es disjunta, entonces
#X\cap P = # (A\cup B)\cap P + #(A\cup B)^c \cap P
#(A\cup B)^c \cap P = 5 lo calculamos en la parte anterior y # (A\cup B)\cap P = 6 lo acabamos de calcular, por lo cual la respuesta es 11.