Examen Febrero 2023 (sin solución publicada)

Examen Febrero 2023 (sin solución publicada)

de Gonzalo Javier Diaz Ferreira -
Número de respuestas: 9

Buenas, ¿Cómo están?

No encontré el foro para dudas de ejercicios de examen, pero les hago una consulta de un examen que no encontré la solución: 



La parte d) (copié la parte c, así se entiende de dónde viene) indica que usemos "potencias pares de Q"...

¿Cómo sería esto? 


Gracias!

Saludos

Gonzalo

En respuesta a Gonzalo Javier Diaz Ferreira

Re: Examen Febrero 2023 (sin solución publicada)

de Gonzalo Javier Diaz Ferreira -

Mi consulta viene porque el radio espectral para ese caso es 2. Entonces no converge para ningún valor de x0... 

¿Cuál sería mi error?

En respuesta a Gonzalo Javier Diaz Ferreira

Re: Examen Febrero 2023 (sin solución publicada)

de Juan Pablo Borthagaray -
Hola Gonzalo,

No hay problema con que preguntes por acá (no tenemos foro específico para las consultas de examen).

¿Cómo te quedaron Q y r? (Si querés, escribilos tipo Octave que se entienden.)

La segunda pregunta me da a entender que al menos Q te quedó bien, pero hay una cosa importante: el radio espectral te habla del comportamiento del mayor módulo de los valores propios de una matriz. Que sea mayor que 1 no quiere decir que todos los valores propios sean mayores que 1, no? Como sugerencia, probá en tu computadora correr Jacobi con un iterado inicial que sea [c, -1, -1], con c un real cualquiera. Capaz que eso te ayuda a entender mejor lo que está pasando.
En respuesta a Juan Pablo Borthagaray

Re: Examen Febrero 2023 (sin solución publicada)

de Gonzalo Javier Diaz Ferreira -
Hola! Gracias por la respuesta.

Q me quedó E + F (sólo las entradas 2,3 y 3,2 son distintas de Cero; con valor 2) y r = b (porque D es la identidad).

Intenté hacer el código en Octave y me quedó que no converge nunca... los valores propios son 0, -2 y 2.

Y en realidad, sí, SOLO converge con c = 0 ... pero es porque es la solución! o sea, ya llega al valor en la primer iteración.

Sí elijo cualquier valor distinto de cero... llega al máximo iteraciones sin converger...

¿Está bien el razonamiento?

Gracias
En respuesta a Gonzalo Javier Diaz Ferreira

Re: Examen Febrero 2023 (sin solución publicada)

de Juan Pablo Borthagaray -
Creo que tenés un problema en la implementación. Con cualquier c real debería converger en una sola iteración. Por otra parte, los valores propios de Q no son los que decís (y justamente creo que es por eso que se da la sugerencia en el ejercicio).

Fijate si encontrás dónde puede estar el problema, y cualquier cosa la seguimos.
En respuesta a Juan Pablo Borthagaray

Re: Examen Febrero 2023 (sin solución publicada)

de Gonzalo Javier Diaz Ferreira -
Sí, ya encontré el error en el código ...

Igual no entiendo porqué los valores propios están mal... Si tomo la matriz A, y hago la descomposición D me queda la identidad que es su propia inversa y luego sólo me queda la matriz Q, y (le llamo "t" a lambda):

det(Q - t.I) = det( [-t, 0, 0;
0, -t, 2;
0,2,-t]
y eso es igual -t(t^2-4) = 0 sii t = 0; t = 2 o t = -2

Con respecto a la sugerencia hice: Q^2 y Q^4, y lo que veo es que me quedan los valores propios con crecimiento exponencial (de acuerdo al "k" exponente de Q, Q^k tiene el primer valor de la diagonal en CERO, y los restantes son t^k (como es par "k" no importa el signo y quedan positivos).

Entonces entiendo que no va estirarse en la dirección para cero, pero sí lo hace exponencialmente para 2 y -2 (que en abs() es 2)

¿qué estoy calculando mal?


Gracias!
En respuesta a Gonzalo Javier Diaz Ferreira

Re: Examen Febrero 2023 (sin solución publicada)

de Juan Pablo Borthagaray -
Hola Gonzalo,

Ahora el que se equivocó fui yo... vi mal el signo de las entradas (2,3) y (3,2) de A. Supongo que, inducido por la sugerencia, me convencí de que eran uno positivo y otro negativo. (En ese caso, los valores propios de Q serían 0, 2i, -2i, y los de Q^2 sí serían reales: 0, 4, -4.)

Tal como está la letra del examen, es correcto lo que decís en el último mensaje, y realmente creo que la sugerencia no tiene ningún sentido.

Creo que lo más importante es lo que mencioné en el primer mensaje: que el radio espectral sea mayor que 1 no significa que la iteración sea divergente independientemente de cómo tomes x^0. Quiere decir que hay algún x^0 tal que la iteración es divergente. De hecho, basta con tomar x^0 de forma tal que el error e^0 tenga alguna componente no nula en una dirección propia con valor propio asociado con módulo mayor que 1. Si el error e^0 está en un subespacio generado por vectores propios con valores propios asociados con módulo menor que 1, entonces la iteración va a ser convergente.
En respuesta a Juan Pablo Borthagaray

Re: Examen Febrero 2023 (sin solución publicada)

de Gonzalo Javier Diaz Ferreira -

Juan Pablo, muchas gracias por la respuesta. 

Con respecto al radio espectral, repito para ver si entendí bien (y agrego algunas afirmaciones que quiero confirmar): 

1) Que sea mayor que 1, no implica que sea divergente para todo x0 , si no que existe por lo menos un x0 en donde el método es divergente

2) De lo anterior dependerá del error inicial: e0 ... porque e0 se puede descomponer como una combinación lineal de los vectores propios de Q. Ahí juega la proposición que indica que e(k+1)  = Q.e(k)   y entonces se verá afectado en cada iteración por los vaps de Q. 

3) Si tenemos un valor propio que en su abs() es mayor que 1, entonces el error crecerá con esa dirección provocando la divergencia del método. 

4) (esto es algo que leí, no sé si es correcto)... que sea 1 exactamente el radio espectral, puede provocar que se estanque el método, no se modifica el error inicial. 

Muchas gracias!

Saludos
Gonzalo 

En respuesta a Gonzalo Javier Diaz Ferreira

Re: Examen Febrero 2023 (sin solución publicada)

de Juan Pablo Borthagaray -
De 1) a 3) estamos esencialmente de acuerdo. (Salvo un detalle: que Q no tiene por qué ser diagonalizable ni siquiera en los complejos --es aquello de la diferencia entre multiplicidad algebraica y multiplicidad geométrica de GAL 2--, y eso implica que no necesariamente todo vector se pueda descomponer como combinación lineal de vectores propios de Q.)

4) Está bien si por "que se estanque el método" entendés que la norma del error no decrezca. Creo que te referías a eso, pero por las dudas lo aclaro.