Ejercicio 4, c

Ejercicio 4, c

de Diego Fernando Silveira De La Sierra -
Número de respuestas: 5

Buenas, no entenderia como se prosigue a partir de la ecuacion que plantee abajo a la derecha de la foto, me llego por la cucaracha que el Torque generado por la correa da 0 y que solo queda el de la fuerza de rozamiento y ahi despejas, pero no tiene sentido porque la letra te dice explicitamente que la correa genera un torque constante, si alguien me ilumina se agradece (cabe aclarar que la "T" en mi dibujo se refiere a la "tension" que le hace la correa, no al torque)


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Re: Ejercicio 4, c

de Diego Fernando Silveira De La Sierra -
Creo que use mal la formula y que es para el torque externo neto, y por eso el torque por la correa da 0, porque es parte del sistema
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Re: Ejercicio 4, c

de Nicolás Casaballe -
Buenas, Diego. Hay que aclarar que el torque que ejerce la correa se debe a la fuerza de rozamiento entre esta y el cilindro. Cuando la correa pasa alrededor de la superficie, al entrar en contacto aparece una fricción distribuida entre sus diferentes puntos. No aparece separadamente un "torque debido a la correa" y "un torque debido a la fricción": son la misma cosa.

La tensión en la correa no es siempre del mismo módulo. Debido al contacto con la superficie, el valor va cambiando progresivamente, en función de la posición y de la fricción. Al final, la tensión en los extremos de la correa es diferente, con lo cual es capaz de ejercer un torque externo no nulo sobre el sistema.

Se puede ver que el efecto neto de esta interacción equivaldría a la aplicación de una única fuerza en la superficie del cilindro que genere el mismo torque. Mi interpretación es que en la última pregunta hay que contestar el valor de esta fuerza equivalente. Igual no le daría demasiadas vueltas ya que, en definitiva, la única operación que tiene sentido dimensional hacer para hallar una fuerza es dividir el torque entre el radio.

Saludos,
NC
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Re: Ejercicio 4, c

de Diego Fernando Silveira De La Sierra -
Buenas, no me termina de cerrar, cuando decis que aparece una friccion distribuida entre sus diferentes puntos me imagino lo siguiente ( espero se entienda mi humilde dibujo ) : Si el cilindro gira en la direccion de w, es porque la correa le esta ejerciendo la tension en esa "direccion", despues es cierto que aparece una fuerza de friccion (que supongo que es dinamica porque no se dice que sea ideal la correa) en cada punto en direccion contraria a donde lo quiere "llevar" la tension, por lo tanto los torques serian distintos y de direcciones opuestas

Se ve que hay algo conceptual en lo que le erro y no me estaria dando cuenta que es
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Re: Ejercicio 4, c

de Nicolás Casaballe -
Me gustó tu dibujo, Diego. El análisis completo de la situación en términos de analizar todas las fuerzas sobre la correa es bastante complicado, y así como lo estás pensando vas por el buen camino.

Es preciso revisar que cada parte de la correa siente una tensión algo diferente en sus extremos.
Inspirado en tu esquema, me puse a hacer un par diagramas para analizar esta situación y definir algunas cantidades. Primero, la división de la correa en varias partes:

Acá supuse que se sabe la masa y largo total de la correa, y que además es uniforme. La cantidad de masa por unidad de longitud es constante, y la masa de cada trocito de correa queda proporcional al pequeño ángulo d\phi. Llamé T_1 y T_N a los módulos de la tensión en los extremos de la correa. Más adelante haremos que el número de divisiones, N, tienda a infinito.

Antes de ello, analicemos las fuerzas que actúan sobre uno de los trocitos (considerando que es bastante pequeño). El diagrama de cuerpo libre puede verse de la siguiente manera:

Podemos observar que el módulo de la fuerza neta en la dirección tangencial resulta dm a_t, y que además a_t = R\alpha. \alpha es el valor de la aceleración angular. Si la correa no desliza, es la misma que la del cilindro, y si hay deslizamiento son diferentes.
\vec f_n representa la fuerza de fricción que el disco ejerce sobre el elemento n-ésimo de la correo. Usando el principio de acción y reacción, sabemos que este trocito de correa le ejerce al disco una fuerza de igual módulo y dirección opuesta. Entonces, el disco experimenta un torque de módulo Rf_n con respecto a su centro debido a esta fuerza de fricción.

Para completar el análisis debemos considerar que el número de divisiones tiende a infinito o, en forma equivalente, d\phi tiende a cero. Con eso transformamos la ecuación anterior:

En este paso decidí llamar df(\phi) al resultado de considerar la fuerza de fricción que está actuando sobre dm cuando pasamos al límite. En parte es una decisión notacional, pero es también para tomar en cuenta que esa fuerza también va a ser muy pequeña cuando hacemos que las demás cantidades tiendan a cero. Una cosa que se me ocurrió es que la cantidad de interés en este planteo tal vez debería ser algo del estilo "módulo de fricción por unidad de ángulo" en lugar de solamente la fuerza, pero decidí absorber esas consideraciones en el símbolo df(\phi).

Se puede integrar la última relación para llegar a una ecuación que relaciona la diferencia entre los módulos de la tensión en los extremos con las otras cantidades, a saber

aunque este resultado no revela demasiado en realidad (R\Delta \phi es la longitud de la parte de la correa que envuelve al cilindro). Lo que deseamos hallar es el torque que ejerce la fuerza de fricción de la correa sobre el cilindro, es decir
El valor final a la derecha es el resultado conocido si consideramos que la masa de la correa es despreciable para nuestros propósitos (lo que normalmente hacemos). Para contestar el ejercicio pienso que debemos hacer un pequeño salto conceptual y expresar el resultado de integrar df(\phi) como una fuerza equivalente:

y, sustituyendo esta definición en la ecuación anterior, podemos calcular f_{eq} simplemente como


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Es cierto que el enunciado no habla sobre si hay o no deslizamiento entre la correa y el cilindro. En términos de una máquina real sería muy deseable que no exista deslizamiento, porque de lo contrario habría un rápido calentamiento de las superficies debido al trabajo de la fuerza de rozamiento dinámica. Para valores que no sean excesivamente altos de la aceleración angular, tendríamos que poder asumir que no va a haber deslizamiento. En caso de haber deslizamiento, deberíamos contar con información adicional para poder resolver el ejercicio (velocidades iniciales, coeficientes, etc.).

Saludos,
NC