Foro de Ejercicios fuera de los Prácticos

Buen día Lucía. 
En realidad siempre que hacemos uso de equivalencias de dos funciones, estamos usando Taylor de manera indirecta.
Ej1: Cuando decimos que $\ln (x+1) \approx x$ (es decir son equivalentes/o se aproximan/ cuando $x \longrightarrow 0$ )
Ej2: O cuando se dice que $e^x \approx x+1$ (cuando $x \longrightarrow 0$ ).
Ambas son resultados de Taylor.
Solo que habrá casos en las que tenemos que encontrar funciones mucho mas próximas, las cuales seguirán siendo resultado de Taylor.
Ej1: Una función que más se aproxima a $\ln (x+1)$ es $x-\dfrac{1}{2}x^2$ (cuando $x \longrightarrow 0$ )
Te voy ayudar con el ejercicio 9.
Otra forma de encontrar de manera mas rápido un polinomio de Taylor, y evitarte esas cuentas tediosas.
1°) Tenemos que observar que $f(x)=\ln(1+x^2)$ lo podemos mirar como una composición de funciones. 

Es decir que si se considera a $h(y)=\ln(y)$ y un polinomio $g(x)=x^2+1$, 

entonces $f(x)=(hg)(x)=h(g(x))=h(1+x^2)=\ln(1+x^2)$. 
2°) Ya por cálculo 1, sabemos que el polinomio de Taylor por definición de $h(y)=\ln(y)$ cerca de $a$ es:
$T_{n}(h(y),a)= \ln(a)+ \sum_{i=1}^{n} (-1)^{n+1} \dfrac{1}{na^{n}} (y-a)^{n}$.
3°) Observar que cuando $x \longrightarrow 0$ la función $y=g(x)\longrightarrow 1$.
4°) Calculamos Taylor de $h(y)$ con $a=1$.
$T_{n}(h(y),1)= \sum_{i=1}^{n} (-1)^{n+1} \dfrac{1}{n} (y-1)^{n} = (y-1)- \dfrac{1}{2}(y-1)^2+\dfrac{1}{3}(y-1)^3- ... +(-1)^{n+1}\dfrac{1}{n}(y-1)^n$.
5°) Basta reemplazar $y=g(x)=x^2+1$.
$T_{n}(h(y),1)= (y-1)- \dfrac{1}{2}(y-1)^2+\dfrac{1}{3}(y-1)^3- ... +(-1)^{n+1}\dfrac{1}{n}(y-1)^n$.

$T_{2n}(h(g(x)),0)= x^2-\dfrac{1}{2}x^4+\dfrac{1}{3}x^6- ... +(-1)^{n+1}\dfrac{1}{n}x^{2n}$.

6°) Podemos aproximar la función $f$ convenientemente:
$f(x^2+1)=\ln(x^2+1) \approx x^2-\dfrac{1}{2}x^4+\dfrac{1}{3}x^6+...$
Observación1: Basta considerar los dos primeros términos de la aproximación anterior (Si consideras más términos el resultado es el mismo, solo que un poquito más exacto). 
Observación2: Esta propiedad funciona bien para cualquier polinomio $g(x)$. (Se podría extender a otras funciones, pero es ir teniendo cuidados con los dominios).
Espero que mi sugerencia te ayude, con ejercicios similares al $9)$.
Si algo mas quieres detallar o que se aclare estaré pendiente.

Saludos.