Buenas, no pude asistir a los practicos de la semana de continuidad y no se como encarar estos ejercicios donde pide hallar a,b para que sea continua la funcion.
Tengo claro que para que sea continua debe existir el lim x tiende a c y este limite debe ser igual a f(c)
Agradezco cualquier ayuda.
Hola Diego. En estos ejercicios usualmente la función está dada por intervalos y es continua en el interior de cada intervalo, siendo los puntos de quiebre los únicos problemáticos. Veamos por ejemplo el ejercicio 2d.
$$f(x)=a\sin (x+b)$$ si $$x\leq 0$$ y $$f(x)=x\sin \frac{1}{x} $$ si $$x>0$$
Esta función es continua para $$x\lessgtr 0$$, porque $$1/x$$ es continua siempre que $$x\neq 0$$ y $$\sin$$ es continua en todo $$\mathbb R$$, por lo que el único punto problemático es $$x=0$$.
Como bien dijiste, $$f$$ es continua en $$x=0$$ si y sólo si $$\lim _{x\to 0} f(x) = f(0)$$, y esto equivale a que $$\lim _{x\to 0^-} f(x) =\lim _{x\to 0^+} f(x) = f(0)$$. Veamos cuánto vale cada uno.
$$\lim _{x\to 0^-} f(x) =\lim _{x\to 0^-} a\sin (x+b) = a\sin (b)$$
$$\lim _{x\to 0^+} f(x) =\lim _{x\to 0^+} x\sin \frac{1}{x} = 0$$
$$f(0)=a\sin\left(0+b\right)=a\sin\left(b\right)$$
Por tanto necesitamos que $$a\sin\left(b\right)=0$$, lo que sucede solo si $$a=0$$ o $$b=n\pi $$ con $$n$$ entero.
Espero se haya entendido, cualquier cosa estamos a las órdenes. Saludos!