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Hola, lo que vos planteas es correcto: Si tenemos que existe un natural k tal que f^(k)(z)=0 para todo z complejo, entonces f es un polinomio (es fácil verificar esto por inducción). Entonces, solo hay que probar que existe k con esta propiedad.

Las hipótesis del problema son: f es holomorfa en todo el plano complejo, y EXISTE un natural N tal que |f(z)|<|z|^N para todo z. Tomemos entonces k=N+1, vamos a demostrar que f^(k)(z)=0, para todo z.

Sea entonces z un complejo cualquiera y consideremos la circunferencia de radio R centrada en el origen (que llamaremos C_R) donde R>|z|. Usando la fórmula de Cauchy global para las derivadas obtenemos que:

   f^(k)(z)=(k!/2πi)∫_CR f(w)/(w-z)^k+1 dw

Ahora, usando acotación de integrales podemos ver que:

   |f^(k)(z)|<(k!/2π)∫_CR |f(w)|/|w-z|^k+1 |dw|<(k!/2π)R^N/|R-|z||^k+1∫_CR |dw|=

   =(k!/2π)R^N/|R-|z||^k+1 2πR=(k!)R^N+1/|R-|z||^k+1

Como k=N+1, la última expresión es (k!)R^N+1/|R-|z||^N+2 que tiende a cero cuando R tiende a infinito. Esto demuestra que f^(N+1)(z)=0, y como z era arbitrario, queda demostrado para todo z complejo.

Saludos.