Ejercicio 2.3.b.1

Re: Ejercicio 2.3.b.1

de Valeria Goicoechea -
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Hola,

Aquí va otra demostración (conviene que te hagas un dibujo para entender todo el chirimboleaje).

Vamos a usar:
  • \( \alpha= \sup(A) \Leftrightarrow \forall \varepsilon>0 \exists a\in A \text{ tal que } \alpha -\varepsilon < a \leq \alpha \)
  • \( \beta= \inf(B) \Leftrightarrow \forall \delta>0 \exists b\in B \text{ tal que } \beta\leq b < \beta +\delta \)

Supongamos por absurdo que \( \sup(A) > \inf(B) \) , entonces:

  • Tomando \( \varepsilon=\sup(A)-\inf(B)>0 \), tenemos que existe \(a\in A\) tal que \( \sup(A) -\varepsilon < a \leq \sup(A) \). Luego, existe \(a\in A\) tal que \(\inf(B) < a \leq \sup(A) \)
  • Ahora tomamos \( \delta= a-\inf(B)>0 \) y tenemos que existe \( b\in B\) tal que \( \inf(B) \leq b < \inf(B)+\delta \). Luego, existe \( b\in B\) tal que \( \inf(B)\leq b < \inf(B)+\delta =a \)
  • Finalmente, hemos probado que existen \( a\in A\) y \( b \in B\) tales que \( b<a \) (absurdo).

Saludos