Hola,
Aquí va otra demostración (conviene que te hagas un dibujo para entender todo el chirimboleaje).
Aquí va otra demostración (conviene que te hagas un dibujo para entender todo el chirimboleaje).
Vamos a usar:
- \( \alpha= \sup(A) \Leftrightarrow \forall \varepsilon>0 \exists a\in A \text{ tal que } \alpha -\varepsilon < a \leq \alpha
\)
- \( \beta= \inf(B) \Leftrightarrow \forall \delta>0 \exists b\in B \text{ tal que } \beta\leq b < \beta +\delta \)
Supongamos por absurdo que \( \sup(A) > \inf(B) \) , entonces:
- Tomando \( \varepsilon=\sup(A)-\inf(B)>0 \), tenemos que existe \(a\in A\) tal que \( \sup(A) -\varepsilon < a \leq \sup(A) \). Luego, existe \(a\in A\) tal que \(\inf(B) < a \leq \sup(A) \)
- Ahora tomamos \( \delta= a-\inf(B)>0 \) y tenemos que existe \( b\in B\) tal que \( \inf(B) \leq b < \inf(B)+\delta \). Luego, existe \( b\in B\) tal que \( \inf(B)\leq b < \inf(B)+\delta =a \)
- Finalmente, hemos probado que existen \( a\in A\) y \( b \in B\) tales que \( b<a \) (absurdo).
Saludos