Ejercicio 2.3.b.1

Ejercicio 2.3.b.1

de Valentín Moncecchi Ruiz -
Número de respuestas: 2

El ejercicio pide demostrar que si a<=b para todo a en A y b en B, entonces sup(A)<=inf(B).

Algunas explicaciones que encontré los justifican de la siguiente forma: 

sup(A)=>a para todo a por definición

inf(B)<=b para todo b por definición

dado que a<=b para todos a y b, sup(A)<=b y dado que el inf de B es la mayor de sus cotas inferiores sup(A)<=inf(B)

No entiendo en esta demostración la parte en negrita. ¿Por qué se podría afirmar que el supremo de A es cota inferior de B, si no tiene por qué pertenecer a A?

En respuesta a Valentín Moncecchi Ruiz

Re: Ejercicio 2.3.b.1

de Joaquin Brum -
Hola Valentín

Fijá $$b\in B$$, como $$a\leq b$$ para todo $$a\in A$$ concluímos que $$b$$ es cota superior de $$A$$. Luego, como el supremo es la menor de las cotas superiores se deduce que sup$$(A)\leq b$$.

Espero que sirva, sino volvé a preguntar

saludos
En respuesta a Joaquin Brum

Re: Ejercicio 2.3.b.1

de Valeria Goicoechea -
Hola,

Aquí va otra demostración (conviene que te hagas un dibujo para entender todo el chirimboleaje).

Vamos a usar:
  • \( \alpha= \sup(A) \Leftrightarrow \forall \varepsilon>0 \exists a\in A \text{ tal que } \alpha -\varepsilon < a \leq \alpha \)
  • \( \beta= \inf(B) \Leftrightarrow \forall \delta>0 \exists b\in B \text{ tal que } \beta\leq b < \beta +\delta \)

Supongamos por absurdo que \( \sup(A) > \inf(B) \) , entonces:

  • Tomando \( \varepsilon=\sup(A)-\inf(B)>0 \), tenemos que existe \(a\in A\) tal que \( \sup(A) -\varepsilon < a \leq \sup(A) \). Luego, existe \(a\in A\) tal que \(\inf(B) < a \leq \sup(A) \)
  • Ahora tomamos \( \delta= a-\inf(B)>0 \) y tenemos que existe \( b\in B\) tal que \( \inf(B) \leq b < \inf(B)+\delta \). Luego, existe \( b\in B\) tal que \( \inf(B)\leq b < \inf(B)+\delta =a \)
  • Finalmente, hemos probado que existen \( a\in A\) y \( b \in B\) tales que \( b<a \) (absurdo).

Saludos