Consultas sobre Conjuntos y ejercicio 6c - Sección 1- Cap2

Consultas sobre Conjuntos y ejercicio 6c - Sección 1- Cap2

de Alejandro Ruben Ureta Patteta -
Número de respuestas: 1

  1. SeanA,B dos conjuntos no vacios.Probar que si A×B = B×A entonces A=B.

buen día Tabaré,

adjunto la imagen de lo que me parece puede ser una representación geométrica del producto cartesianop AxB y las consultas al respecto del texto del ejercicio. 
Sea que la consulta sobre la igualdad o identidad de los conjuntos corresponda, y por tanto de la pertinencia de la igualdad incluida en el texto del ejercicio, me parece importante siempre incluir, discutir  y recurrir a, interpretaciones geometricas de las operaciones algebraicas a considerar. 
En la imágen también pongo una descripción simbólica de las implicancias de AxB = BxA, como  operación sobre dos conjuntos no vacíos. Te consulto si dicha descripción simbólica debería, o no, ser considerada una prueba de identidad, o no es mas que una descripción simbólica; en cuyo caso agradezco puedan incluir una prueba para dicha indentidad. Consulta sobre ejercicio 6c, Seccion 1, capitulo 1

En respuesta a Alejandro Ruben Ureta Patteta

Re: Consultas sobre Conjuntos y ejercicio 6c - Sección 1- Cap2

de Joaquin Chadicov -
Hola Alejandro, no soy Tabaré pero intentaré responder tu pregunta.
Empiezo por lo importante: el ejercicio pide demostrar la implicancia para conjuntos A y B cualquiera, y tu consideraste dos conjuntos particulares (A={1,2,3} y B={1,2,3}), de modo que quedarían sin demostrar todos los demás casos posibles. Por otra parte tampoco veo que hayas demostrado este caso (aunque estuviste cerca de probar el recíproco; es decir, que si A=B entonces AxB=BxA).
Te muestro una posible demostración, pero para entenderla tenemos que ponernos de acuerdo en algunas definiciones.
Inclusión: Decimos A está incluido en B si y sólo si pertenecer a A implica pertenecer a B. En símbolos, $$A\subset B \iff (a\in A \implies a\in B)$$
Igualdad: Decimos que A es igual a B si y sólo si A está incluido en B y B está incluido en A; $$A=B \iff (A\subset B \land B\subset A)$$
Producto cartesiano: Definimos AxB como el conjunto de pares ordenados (a,b), donde a pertenece a A y b pertenece a B. El par ordenado se caracteriza por la propiedad de que si (a,b)=(a',b'), entonces a=a' y b=b'. Para ello, este puede definirse formalmente como $$(a,b)=\{ \{ a\} ,\{ a,b\} \} $$, y entonces $$A\times B=\{ (a,b)\mid a\in A\land b\in B\} $$.
Ahora sí, demostremos el enunciado $$A\times B=B\times A\implies A=B$$
Demostración: Sean $$a\in A$$ y $$b\in B$$, de modo que $$(a,b)\in A\times B$$. Como $$A\times B=B\times A$$, $$(a,b)\in B\times A$$ lo que implica que 1) $$a\in B$$ y 2) $$b\in A$$. Como el razonamiento vale para todo $$a\in A$$ y $$b\in B$$, 1) implica que $$A\subset B$$ y 2) implica que $$B\subset A$$. Por lo tanto $$A=B$$.