¿Cómo el tablero tiene (2^n * 2^n) - 1 cuadraditos, que es lo mismo que, (4^n) -1, la idea es demostrar que eso es múltiplo de 3?
Interesante pregunta. Supone que ya sabes que la cantidad de casillas libres es múltiplo de 3 (de hecho es consecuencia inmediata de lo que te piden probar). ¿Eso implica que se pueda cubrir por L de tamaño 3 sin que se solapen? Lo importante por el momento es que entiendas que lo que te piden probar es más fuerte que simplemente tener una cantidad de casillas libres que sea múltiplo de 3.
Intenta reflexionar sobre eso y la seguimos.
Cordiales saludos,
Mauricio Guillermo (coordinado de equipo MD1-2S 2024)
Intenta reflexionar sobre eso y la seguimos.
Cordiales saludos,
Mauricio Guillermo (coordinado de equipo MD1-2S 2024)
No me queda muy claro porque no basta con demostrar que sea múltiplo de 3, pero estuve pensando en otra solución.
Si nuestra hipótesis es 4^n-1 y la tesis (4^n+1)-1. Entonces
4^n+1 = 4*(4^n), 4 subtableros de 4^n cuadrados, si al primero le quitamos 1 cuadrado tendríamos nuestra hipótesis por lo cual si se puede cubrir, lo mismo con los 3 restantes pero esos dejarían 3 cuadrados que podemos cubrir con otra pieza en L. ¿Es esta idea correcta?
Si nuestra hipótesis es 4^n-1 y la tesis (4^n+1)-1. Entonces
4^n+1 = 4*(4^n), 4 subtableros de 4^n cuadrados, si al primero le quitamos 1 cuadrado tendríamos nuestra hipótesis por lo cual si se puede cubrir, lo mismo con los 3 restantes pero esos dejarían 3 cuadrados que podemos cubrir con otra pieza en L. ¿Es esta idea correcta?
Creo que la idea es correcta. La clave está en saber elegir los tres cuadraditos que faltan en los subtableros restantes. Jazmín lo resolvió en una de las clases grabadas.
Gracias Pablo por le respuesta. Yo diría que lo clave del paso inductivo es que en un tablero de 
se puede descomponer en 
tableros de 
. Al probar el paso inductivo, la casilla omitida en el tablero de cae en uno de los 4 subtableros de y ahí sabes que lo puedes cubrir por la hipótesis de inducción. A los otros 3 conviene pensarlos privados de una casilla al centro y aplicar la hipótesis de inducción. Por último, las 3 casillas que omitiste al centro forman una L y se tapan con una pieza más.
Me parerce importantísimo que comprendan que no sirve como prueba el saber que la cantidad de casillas libres es un múltiplo de 3. Ciertamente eso pasa y es, por ejemplo, consecuencia de lo que se pide probar. Pero el problema es geométrico, no de conteo. Las L son rígidas y tienen un ángulo... si ustedes consideran por ejemplo 3 casillas en línea (que es una cantidad múltiplo de 3), es imposible cubrirlas con una L. Ese contrajemplo muestra que cualquier prueba que no haga intervenir que las dimensiones del tablero son una potencia de
es para sospechar.
Quiero además hacerles notar una asimetría interesante en el uso de la hipótesis de inducción para probar la tesis de inducción: Mientas en un subtablero se usa con toda generalidad, porque no tenemos control sobre cuál es la casilla omitida; en los otros
las casillas omitidas las elige quien hace la prueba. Son un elemento nuevo que se introduce a los efectos de hacer la prueba y que no está explícito en el enunciado. Muchas veces al resolver un problema de matemática se precisa imaginar elementos que no están explícitamente mencionados en el enunciado. Es como si están en una habitación tratando de alcanzar algo alto y de pronto se les ocurre salir de la habitación a buscar una escalera porque intuyen que si la tuvieran, llegarían a donde quieren.
se puede descomponer en tableros de . Al probar el paso inductivo, la casilla omitida en el tablero de cae en uno de los 4 subtableros de y ahí sabes que lo puedes cubrir por la hipótesis de inducción. A los otros 3 conviene pensarlos privados de una casilla al centro y aplicar la hipótesis de inducción. Por último, las 3 casillas que omitiste al centro forman una L y se tapan con una pieza más.Me parerce importantísimo que comprendan que no sirve como prueba el saber que la cantidad de casillas libres es un múltiplo de 3. Ciertamente eso pasa y es, por ejemplo, consecuencia de lo que se pide probar. Pero el problema es geométrico, no de conteo. Las L son rígidas y tienen un ángulo... si ustedes consideran por ejemplo 3 casillas en línea (que es una cantidad múltiplo de 3), es imposible cubrirlas con una L. Ese contrajemplo muestra que cualquier prueba que no haga intervenir que las dimensiones del tablero son una potencia de
es para sospechar. Quiero además hacerles notar una asimetría interesante en el uso de la hipótesis de inducción para probar la tesis de inducción: Mientas en un subtablero se usa con toda generalidad, porque no tenemos control sobre cuál es la casilla omitida; en los otros
las casillas omitidas las elige quien hace la prueba. Son un elemento nuevo que se introduce a los efectos de hacer la prueba y que no está explícito en el enunciado. Muchas veces al resolver un problema de matemática se precisa imaginar elementos que no están explícitamente mencionados en el enunciado. Es como si están en una habitación tratando de alcanzar algo alto y de pronto se les ocurre salir de la habitación a buscar una escalera porque intuyen que si la tuvieran, llegarían a donde quieren.Por cierto, ése y el ejercicio 5 --por otras consideraciones-- son dos de los más didácticos del práctico. Mi calurosa recomendación es que escriban en español la prueba, sin temor de no usar ninguna fórmula ni cálculo. Lo lindo de ese ejercicio es que está despojado de todo mecanismo de manipulación simbólica que permita "tropezarse" con una prueba haciendo cuentas. Al estar despojado de cualquier manipulación simbólica permite verificar que entienden la estructura del razonamiento.
¡Buen trabajo!