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La ley de Gauss te dice que el flujo que atraviesa tu superficie gaussiana es exactamente la carga encerrada dividido $\epsilon_0$.

En el dibujo aparecen dos lineas perpendiculares, pero en realidad son placas vistas de costado. Si las miras de arriba, la esfera va a estar conteniendo una porcion de la placa. Más específicamente esa fracción va a ser un círculo de radio R.

Por otra parte, hay que recordar que la densidad de carga se define como:

$\displaystyle \sigma=\frac{q}{A}$

Entonces:

$\displaystyle q= \sigma A$

El área del círculo es $r^2 \pi$, entonces la carga encerrada va a ser:

$\displaystyle q_{encerrada} = \sigma \pi r^2$

Como en realidad, la densidad no es $\sigma$ en este caso, sino que $- \sigma$ te queda:

$\displaystyle q_{encerrada} = - \sigma \pi r^2$

Y entonces el flujo $\Phi$ te queda, por Gauss:

$\displaystyle \Phi=\frac{q_{encerrada}}{\epsilon_0} = - \frac{\sigma \pi r^2}{\epsilon_0}$