Foro de Ejercicios fuera de los Prácticos

Hola. En este caso lo mejor es hacer un cambio de variables a cilíndricas pero tomando un cilindro cuyo eje principal no es el eje $z$ (es decir, el cambio de variable más útil no es $x=r\cos\theta, y=r\sin \theta$).

Fijate que te están pidiendo el volumen de un sólido que es la intersección del interior del paraboloide $x^2+y^2=z$ con una de las dos secciones en las que el plano $x-z+2=0$ divide a $\mathbb{R}^3$. Gráficamente esos conjuntos se ven como en esta figura: https://www.geogebra.org/m/xg85ddny

Fijate que, en el plano $(x,y)$ el conjunto donde se intersectan es una circunferencia que no está centrada en el origen. Para ver exactamente cuál es, observá que donde se intersectan se tiene que cumplir que $z=x^2+y^2$ y que $x-z+2=0\Leftrightarrow z=x+2$. Entonces las coordenadas $x$ e $y$ de los puntos que estén en esa intersección tienen que cumplir:

$\displaystyle x^2+y^2=x+2 \Leftrightarrow \left(x-\frac{1}{2}\right)^2 + y^2 = \frac{9}{4}$

En el plano $(x,y)$ eso se corresponde a la ecuación de una circunferencia de centro $\displaystyle\left(\frac{1}{2},0\right)$y radio $\displaystyle \frac{3}{2}$. El sólido que querés calcular corresponde a los puntos cuyas coordenadas $x$ e $y$ están en el interior de esa circunferencia, y la coordenada $z$ varía entre el paraboloide $x^2+y^2=z$ y el plano $x-z+2=0$.

Así, el cambio de variable más útil en este caso es el que te permite recorrer la circunferencia de centro $\displaystyle \left(\frac{1}{2},0\right)$y radio $\displaystyle \frac{3}{2}$, es decir:

$\left\lbrace \begin{array}{l} x = \frac{1}{2} + r\cos\theta\\ y = r\sin\theta\\ z=z \end{array} \right.$

Con ese cambio de variable, se puede ver que la condición $x^2+y^2 \leq z$ se transforma en $r^2+r\cos\theta + \frac{1}{4} \leq z$, y la condición $0 \leq x-z+2$ en $0 \leq r\cos\theta -z+2 \Leftrightarrow z\leq r\cos\theta+2$. Como el cambio jacobiano de ese cambio de variable es $r$, el volumen a calcular es:

$\displaystyle \text{Vol}(V) = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\frac{3}{2}} \int_{r\cos\theta+2}^{r^2+r\cos\theta + \frac{1}{4}}  r \, dz\, dr\, d\theta$

Calculando esa integral triple llegás a la respuesta correcta.

Saludos