no me sale el ejercicio

no me sale el ejercicio

de Andrés Guerri Cervantes -
Número de respuestas: 6

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Hola buenas noches no sabría como plantear este ejercicio para definir ese tipo de respuestas. Muchas gracias 

En respuesta a Andrés Guerri Cervantes

Re: no me sale el ejercicio

de Juan Piccini -

Hola Andrés.

Si te fijas en la opción  C, que 0 sea val. propio de T equivale a que existe una matriz  A 2x2 no nula tal que T(A)=0_{2\times 2}.

En componentes, queda que ka_{ij}+(1-k)a_{ji}=0\;\forall i,j=1,2 .

Esto es, a_{ij}=\frac{k-1}{k}a_{ji}\;\forall i,j=1,2 , y como la igualdad tiene que valer para cualquier i, j =1,2, llegamos a 4 ecuaciones de las que se deduce que todos los a_{ij} deben ser 0.

Entonces no existe una matriz A no nula tal que T(A)=0_{2\times 2} por lo que 0 no es valor propio, cualquiera sea el valor de k.

Por tanto la opción C es verdadera.

Saludos

J.
En respuesta a Juan Piccini

Re: no me sale el ejercicio

de Juan Piccini -

Hola de nuevo, revisando las cuentas me equivoqué en mi respuesta anterior, en el sistema de ecuaciones la matriz queda no invertible por lo que admite soluciones no triviales, por tanto no es la opción C.

Disculpas y saludos.

J.


En respuesta a Juan Piccini

Re: no me sale el ejercicio

de Juan Piccini -

Si planteamos  la igualdad T(A)=kA+(1-k)A^t=\lambda A y pasamos a componentes, el sistema 4 x 4 queda \left\lbrace\begin{matrix} (k-\lambda)a_{11}+(1-k)a_{11} & =0 \\ (k-\lambda) a_{12}+(1-k)a_{21}& =0\\ (k-\lambda) a_{21}+(1-k)a_{12}&=0\\(k-\lambda) a_{22}+(1-k)a_{22}&=0\end{matrix} \right. .

Esto te permite discutir \lambda y k.

Otra forma (tal vez menos complicada) es hallar la matriz asociada a T en las bases canónicas, a partir de ahí se sigue.

Saludos

J.
En respuesta a Juan Piccini

Re: no me sale el ejercicio

de Guadalupe Navarro Rubio -

Buenas, yo intente por el lado de la matriz asociada a la base canónica para discutir k con el determinante, pero quede media trancada en ese paso.
Revisé la solución y vi que llega a que el polinomio característico es: χT (λ) = (1 − λ)^3 (2k − 1 − λ). La matriz asociada a la que llegué esta igual a la de la solución, no logro ver donde cometí el error para no llegar a este mismo polinomio. Si me pueden ayudar, les agradecería mucho.


Adjunto SmartSelect_20240718_143702_Noteshelf.jpg
En respuesta a Guadalupe Navarro Rubio

Re: no me sale el ejercicio

de Luciano Matias Muñiz Manasliski -

Hola.

El único error que veo es cuando desarrollas lo que está en paréntesis rectos, hay una parte dónde tenés ...-(k^2-2k+1), se te cancela el k^2 y está bien, pero lo otro cambia de signo por el - delante del paréntesis, así que debería se \lambda^2-2k\lambda+2k-1. Si te fijas \lambda = 1 también va a ser raíz de ese polinomio.