Foro de Teórico

Hola Valentín. Tu idea de la demostración está bien, tal vez le falte un poquito de formalidad. Para empezar, habría que fijar bien el punto $r$ que te tomás al principio. Por ejemplo, podrías decir: "como $x_0$ es frontera, en la bola de centro $x_0$ y radio 1 existe un punto $r_0 \in C$ (ojo que ese punto no necesariamente es interior al conjunto). Luego, tomamos la bola de dentro $x_0$ y radio $\frac{d(x_0,r_0)}{2}$. De nuevo, como $x_0$ es frontera, existe en esa bola un punto $r_1 \in C$. Siguiendo este procedimiento construimos una sucesión de puntos tal que $d(x_0,r_n) < \frac{1}{2^n}$, por lo que $r_n \to x_0$, y como por hipótesis el conjunto es cerrado por sucesiones teneomos que $x_0\in C$ y por lo tanto $C$ es cerrado".

No es necesario separar la prueba entre puntos frontera aislados y no aislados, esta construcción funciona en ambos casos.

Saludos