CDIVV - 1S: Demostracion de Proposicion 5.29. Pagina 87 de las notas

Buenas! Tengo la curiosidad de saber si al demostrar la parte ( <-- ) del teorema, seria valido construir la sucesión de elementos de la siguiente forma:

Si el punto frontera x0 no es un punto aislado, tiene a su alrededor puntos interiores a C. Sea r cualquiera de estos puntos interiores a C. Se construye la sucesión
dividiendo la distancia entre r y x0 / 2. La distancia tendería a 0, y el limite de la sucesión seria x0.

Si por el contrario es aislado, r seria el mismo x0, y la sucesión y su limite serian medios triviales pero en teoría validos. La distancia seria constantemente 0 y el limite = x0.

El resto de la demostración sigue igual, mi duda era simplemente si construir la sucesión de esa manera seria correcto (y si seria necesario diferenciar en estos dos casos o no)

Saludos, Valentin

Re: Demostracion de Proposicion 5.29. Pagina 87 de las notas

de Bernardo Marenco - lunes, 1 de julio de 2024, 15:26

Hola Valentín. Tu idea de la demostración está bien, tal vez le falte un poquito de formalidad. Para empezar, habría que fijar bien el punto $r$ que te tomás al principio. Por ejemplo, podrías decir: "como $x_0$ es frontera, en la bola de centro $x_0$ y radio 1 existe un punto $r_0 \in C$ (ojo que ese punto no necesariamente es interior al conjunto). Luego, tomamos la bola de dentro $x_0$ y radio $\frac{d(x_0,r_0)}{2}$ . De nuevo, como $x_0$ es frontera, existe en esa bola un punto $r_1 \in C$ . Siguiendo este procedimiento construimos una sucesión de puntos tal que $d(x_0,r_n) < \frac{1}{2^n}$ , por lo que $r_n \to x_0$ , y como por hipótesis el conjunto es cerrado por sucesiones teneomos que $x_0\in C$ y por lo tanto $C$ es cerrado".

No es necesario separar la prueba entre puntos frontera aislados y no aislados, esta construcción funciona en ambos casos.

Saludos