Hola.
Está todo bastante bien. Te falta comentar al principio que que la matriz asociada en la base canónica es justamente esa. Es algo general en realidad si
, entonces la matriz asociada a 
en la base canónica es 
(no hay problema con eso).
Tenés un detalle con la base de
, te quedan las coordenadas al revés, debería ser 
. Una manera de detectar ese tipo de errores es verificando que los vectores de la base de 
deben ser ortogonales a los de ; en este caso no te quedaron ortogonales.
Otro par de detalles más: 1. para demostrar que es
en realidad es suficiente con ver que es ortogonal, luego si los valores propios son 1 y -1 (
) es una 
, axial en este caso.
2. Lo que hiciste para comprobar que es ortogonal está bien, pero también podés hacer lo que dijiste al principio: que las columnas de la matriz asociada en una base ortonormal queda una base ortonormal de
y eso es suficiente (que en el fondo es exactamente la misma cuenta que hay que hacer para 
).
En este caso la traza=0 te dice que los valores propios son opuestos, pero a eso ya lo habías calculado, así que no te aporta nada. ¿Qué otras posibilidades hay para una matriz ortogonal con traza = 0 , qué valores propios puede tener?
Está todo bastante bien. Te falta comentar al principio que que la matriz asociada en la base canónica es justamente esa. Es algo general en realidad si
, entonces la matriz asociada a en la base canónica es (no hay problema con eso). Tenés un detalle con la base de
, te quedan las coordenadas al revés, debería ser . Una manera de detectar ese tipo de errores es verificando que los vectores de la base de deben ser ortogonales a los de ; en este caso no te quedaron ortogonales. Otro par de detalles más: 1. para demostrar que es
en realidad es suficiente con ver que es ortogonal, luego si los valores propios son 1 y -1 () es una , axial en este caso. 2. Lo que hiciste para comprobar que es ortogonal está bien, pero también podés hacer lo que dijiste al principio: que las columnas de la matriz asociada en una base ortonormal queda una base ortonormal de
y eso es suficiente (que en el fondo es exactamente la misma cuenta que hay que hacer para ).En este caso la traza=0 te dice que los valores propios son opuestos, pero a eso ya lo habías calculado, así que no te aporta nada. ¿Qué otras posibilidades hay para una matriz ortogonal con traza = 0 , qué valores propios puede tener?
