Hola Agustina.
Por la gran cantidad de espacio en blanco en tu pregunta parece que hubieras querido incluír una foto o imagen sobre una parte específica.
Por la gran cantidad de espacio en blanco en tu pregunta parece que hubieras querido incluír una foto o imagen sobre una parte específica.
Si la pregunta es sobre todo el ejercicio, las propiedades 2,3, 7 se encuentran en las notas del eva.
Una forma fácil de probar las propiedades es apoyándose en lo que ya sabemos de matriz asociada.
Si fijas bases ortonormales A de V y B de W, y si llamas
a la matriz asociada a T se puede probar que la matriz asociada a T* es
.
![M M](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/30e1607d7260db1196cd907a6d5a280f.png)
![\overline{M^t} \overline{M^t}](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/d2ad51d9dd28bbc00026d874ed301b3f.png)
Entonces si S y T son dos TL de V en W, sabemos que
, y como
(usamos que el conjugado de la suma es la suma de los conjugados y que la traspuesta de la suma es la suma de las traspuestas).
![{ }_B(S+T)_A={ }_B(S)_A+{ }_B(T)_A { }_B(S+T)_A={ }_B(S)_A+{ }_B(T)_A](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/779f494d805a91676046f49a5644b8df.png)
![{ }_A(S+T)^*_B=\overline{{ }_B(S+T)^t_A}=\overline{{ }_B(S^t)_A}+\overline{{ }_B(T^t)_A}={ }_A(S^*)_B+{ }_A(T^*)_B { }_A(S+T)^*_B=\overline{{ }_B(S+T)^t_A}=\overline{{ }_B(S^t)_A}+\overline{{ }_B(T^t)_A}={ }_A(S^*)_B+{ }_A(T^*)_B](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/65d183fd1f117cb1a59ea1bc8305fab0.png)
Como fijadas las bases existe una biyección entre la TL y su matriz asociada, al tener que la matriz asociada a (S+T)*=S*+T* se llega a que lo mismo debe ocurrir a nivel de TL.
Razonando en forma similar se pueden demostrar las restantes propiedades.
En cuanto a la 1), es una de las consecuencias de usar una base ortonormal, se prueba que
, puedes encontrarlo en el teo. 121, p.89 del Libro Rojo.
![coord(v)_A=( < v,e_1>,< v,e_2>,\dots,< v,e_n>) coord(v)_A=( < v,e_1>,< v,e_2>,\dots,< v,e_n>)](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/44d63171a4209942227a5846865eceab.png)
Saludos
J.