Hola,
Bueno, voy con la parte (a). Dice "Sea
impar tal que
. Probar que
es derivable en
y calcular
".
La definición de función impar es que cumple
para todo
. La definición de que
es que
.
Si querés probar que
es derivable en
, entonces tenés que probar que el límite
existe y es un número. Así que yo arrancaría con ese límite y trataría de que aparezca el otro que ya conocés, jugando con la definición de impar, y con algún cambio de variable.
Bueno, voy con la parte (a). Dice "Sea
![f f](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.png)
![f'(4)=5 f'(4)=5](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/072bddabf611ce824a5549c6e8028a0c.png)
![f f](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.png)
![-4 -4](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/0267aaf632e87a63288a08331f22c7c3.png)
![f'(-4) f'(-4)](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/50a724b4b094263900875d56c5cd09f4.png)
La definición de función impar es que cumple
![f(-x)= -f(x) f(-x)= -f(x)](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/5eace93daef1cd1cb3ac7d5b79cf9d67.png)
![x x](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png)
![f'(4)=5 f'(4)=5](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/072bddabf611ce824a5549c6e8028a0c.png)
![\displaystyle \lim_{x\to -4} \frac{f(x)-f(4)}{x-4}=5 \displaystyle \lim_{x\to -4} \frac{f(x)-f(4)}{x-4}=5](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/9d4339771505139a79b18569f6e88578.png)
Si querés probar que
![f f](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.png)
![-4 -4](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/0267aaf632e87a63288a08331f22c7c3.png)
![\displaystyle \lim_{x\to -4} \frac{f(x)-f(-4)}{x+4} \displaystyle \lim_{x\to -4} \frac{f(x)-f(-4)}{x+4}](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/5688fc1077e88025098cf9d84065196a.png)
Si precisás un poco más de spoiler, mirá lo que hago a continuación. Pero tratá de pensarlo un poco antes de ver.
Ahí ya está como para hacer un cambio de variable y que aparezca el otro límite.