6.1 ejercicio 5

Re: 6.1 ejercicio 5

de Sofia Llavayol Alvariño -
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Hola,

Bueno, voy con la parte (a). Dice "Sea f impar tal que f'(4)=5. Probar que f es derivable en -4 y calcular f'(-4)".

La definición de función impar es que cumple f(-x)= -f(x) para todo x. La definición de que f'(4)=5 es que \displaystyle \lim_{x\to -4} \frac{f(x)-f(4)}{x-4}=5.

Si querés probar que f es derivable en -4, entonces tenés que probar que el límite \displaystyle \lim_{x\to -4} \frac{f(x)-f(-4)}{x+4} existe y es un número. Así que yo arrancaría con ese límite y trataría de que aparezca el otro que ya conocés, jugando con la definición de impar, y con algún cambio de variable.

Si precisás un poco más de spoiler, mirá lo que hago a continuación. Pero tratá de pensarlo un poco antes de ver.

\displaystyle \lim_{x\to -4} \frac{f(x)-f(-4)}{x+4}=  \lim_{x\to -4} \frac{-f(-x)-\big(-f(4)\big)}{x+4}=  \lim_{x\to -4} \frac{f(-x)-f(4)}{-x-4}= \cdots

Ahí ya está como para hacer un cambio de variable y que aparezca el otro límite.