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Buenas Santiago,

Veo un temita con el sentido de la fuerza elástica, de donde podría provenir tu diferencia de signo. Nos dicen que el resorte tiene longitud natural nula, o sea $l_0=0$, o en otras palabras el resorte solo puede estar estirado. Por lo tanto como el resorte esta estirado va a realizar una fuerza sobre la masa $m$, tirandola hacia su "longitud natural", o sea hacia la izquierda. Por otro lado, para la masa $M$, el resorte también esta estirado, por lo tanto la fuerza sobre la masa $M$ debería ser hacia la derecha.

Después estudiaste bien los casos para la fuerza de rozamiento estático, pero veo un pequeño error al escribir la ecuación de Newton. Veo que para el caso 1, en la masa $M$ pusiste $f_s$ hacia la derecha y en la masa $m$ hacia la izquierda. Eso esta perfecto, ese sentido que le asignas a las fuerzas al dibujarlas ya tiene en cuenta la tercera ley de Newton. O sea que una es la reacción de la otra. Lo que veo que hiciste es ponerle $-f_s$ al rozamiento en la masa $M$, y si haces eso como que estarías dando vuelta el sentido de $f_s$ de vuelta, como que lo haces dos veces. Mi sugerencia es imponer los signos de la tercera ley de Newton cuando dibujamos las fuerzas y luego trabajamos con los módulos $f_s$. Es igual a como trabajas la normal $N'$, ya que en $M$ te queda $N'$ y $Mg$ hacia abajo y $N$ hacia arriba.

Se entendió lo que quise explicar?
Saludos,
Juan Llaguno