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Hola ! Para empezar la notación está mal en la respuesta si.  $\alpha$ y $N$ son la misma cosa.

Te comento como pensarlo para que puedas razonarlo y terminarlo por tu cuenta. Como tenemos una niña corriendo hacia arriba y hacia abajo por una superficie en movimiento (escalera), lo primero que deberíamos darnos cuenta es que es un ejercicio de movimiento relativo. Para empezar a razonarlo, lo mas conveniente es pararse en un sistema en reposo y preguntarse dos cosas:

(1) ¿Cuál es la velocidad de la niña, en módulo (el ángulo no importa, la velocidad de la niña y la de la escalera son paralelas), cuándo la niña esta subiendo?

(2) ¿Cuál es la velocidad de la niña, en módulo, cuándo la niña esta bajando?

Una vez tengas esos datos, vas a tener dos ecuaciones para $v_{subida}^{niña}$ y $v_{bajada}^{niña}$ en función de los parámetros conocidos $v_n$ y $v_e$. Luego, hay que usar el otro dato: la ñiña demora N veces más cuando baja que cuando sube, es decir, su velocidad de subida es N veces mayor que la de bajada. Planteando correctamente esta última observación obtenés una 3er ecuación.

Al final, vas a terminar con un sistema de tres ecuaciones, de donde podes despejar $v_n/v_e$.

Espero que te sirva para terminarlo. Por cualquier cosa estamos a las órdenes, saludos !