Parcial 2021 Ejercicio 2a

Parcial 2021 Ejercicio 2a

de Ignacio De León Aquino -
Número de respuestas: 6




Hola buenas tardes, me queda la duda en este ejercicio porque es que no se cumple. entiendo la explicación, que no pueden ser tautologías ambas a la vez, pero no entiendo porque pasa a ser falso si es que el problema pone o que una es consecuencia semántica de gamma o la otra. La unica forma que se me ocurre es que cuando dice o alpha es consecuencia o beta es consecuencia, en vez de ser solo un o, también tendría que considerar el caso del y. Muchas gracias

En respuesta a Ignacio De León Aquino

Re: Parcial 2021 Ejercicio 2a

de Guillermo Calderon - InCo -

Hola:

Para probar que (ii) es falsa, hay que encontrar Γ, α y β tales que:

  • se cumple: Γ ⊨ α ∨ β
  • no se cumple: (Γ ⊨ α o Γ ⊨ β)

El o se cumple cuando se cumple al menos una de las dos condiciones (es inclusivo).

Para que no se cumpla el o es necesario que no se cumpla ninguna de las dos condiciones.

Por lo tanto, tenemos que encontrar Γ, α y β que cumplan:

  • Γ ⊨ α ∨ β
  • Γ ⊭ α
  • Γ ⊭ β

Es decir, Γ implica lógicamente la disyunción de α y β, pero no implica a α y β por separado.

Espero que aclare tu duda. Cualquier cosa, volvé a preguntar.

En respuesta a Guillermo Calderon - InCo

Re: Parcial 2021 Ejercicio 2a

de Juan Pablo Rodríguez Borthagaray -

Buenas, yo también tengo una consulta de esta parte. También entiendo el argumento que usa la solución, pero traté de hacerlo directamente con definición directamente y no me estaría dando cuenta mi error o que estoy argumentando mal. Dejo foto abajo. Desde ya, muchas gracias!


En respuesta a Juan Pablo Rodríguez Borthagaray

Re: Parcial 2021 Ejercicio 2a

de Guillermo Calderon - InCo -

Que tal:

Vos estás probando lo siguiente:

(∀v : Val) Si v(Γ) = 1 entonces v(α) = 1 o v(β) = 1

Pero lo que habría que probar es algo más fuerte:

(∀v : Val) (Si v(Γ) = 1 entonces v(α) = 1)
o
(∀v : Val) (Si v(Γ) = 1 entonces v(β) = 1)

Y esto no se puede probar porque no se cumple para todo Γ, α y β como lo muestra el contraejemplo de la solución.

En respuesta a Guillermo Calderon - InCo

Re: Parcial 2021 Ejercicio 2a

de Matías Bermudez Muñoz -
Buenos dias!
No me queda claro esto, porque en la solucion plantean Γ como vacio, Γ ⊨ α = Po y β = -Po.
Así, (α ∨ β) es tautologia, cumple Γ ⊨ α ∨ β. ¿por que toma valuaciones distintas para justificar que v(α) = 0 y v(β) = 0?
Deberia ser que para toda valuacion v que evalua Γ como verdadero, v(α) = 0 y v(β) = 0 para que no se cumpla la tesis, pero esto no se cumple, ¿no? Porque si tomas una valuacion que cumple v(α) = 0, implica v(β) = 1 por construcción, cumpliendo asi que
Γ ⊨ α ∨ β -> Γ ⊨ α o Γ ⊨ β. La forma que tendriamos de tirar abajo seria si v(Po) = v(-Po) que no podria ser.
Espero haberme explicado bien, aguardo su respuesta!
En respuesta a Matías Bermudez Muñoz

Re: Parcial 2021 Ejercicio 2a

de Camila Sanz -
Hola Matías, cómo estás?

Lo que se pregunta en el ejercicio es si
\Gamma \vDash \alpha \lor \beta \Rightarrow \Gamma \vDash \alpha \text{ o } \Gamma \vDash \beta

Entonces para dar un contraejemplo es necesario dar un \Gamma, un \alpha y un \beta tal que:

- \Gamma \vDash \alpha \lor \beta y 
- \Gamma \not \vDash \alpha \text{ y } \Gamma \not \vDash \beta

Lo que se hace en la solución es justamente esto, se toma \Gamma = \emptyset,\ \alpha=p_0 \text{ y } \beta=\neg p_0
Para probar que el contraejemplo está bien hay que probar que se cumple:
- \vDash p_0 \lor \neg p_0 y 
- \not\vDash p_0 \text{ y } \not\vDash \neg p_0

Lo primero quiere decir que p_0 \lor \neg p_0 es una tautología.
Lo segundo quiere decir que ni p_0 ni  \neg p_0 son tautologías. Y para probar esto hay que mostrar que existe una valuación v_1 tal que v_1(p_0)=1 y que existe una valuación v_2 tal que v_2(\neg p_0)=1.
Además, v_1 \text{ y } v_2 no tienen por qué ser iguales.

En conclusión se dan dos valuaciones distintas porque lo que se quiere probar es \not\vDash p_0 \text{ y } \not\vDash \neg p_0 y esto se cumple si y solo si \bar\exists(v \in VAL)(v(p_0)=0) \text{ y }\bar\exists(v \in VAL)(v(\neg p_0)=0) y para probar esto alcanza con dar una valuación que cumpla cada existencial.

Espero haya quedado un poco más claro, cualquier cosa volvé a preguntar.
Saludos!