Primer parcial-2023-primer semestres-Ejercicio MO 7

Re: Primer parcial-2023-primer semestres-Ejercicio MO 7

de Marcos Barrios -
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Buenas

Para entender este tipo de problemas una buena idea es siempre intentar pensar que pasa en los enteros, y luego en los primeros intervalos de la forma [n,n+1) para luego tratar de entender el límite. Sea f(x) = \frac{x^{2} - \lfloor x \rfloor^2}{2x}

En este caso, para x = n entero no nulo como \lfloor n \rfloor = n tenemos que \frac{x^{2} - \lfloor x \rfloor^2}{2x} = 0. Tenemos entonces que f(x) = 0 para todo n entero no nulo. Desde aqui ya se puede deducir que en caso de existir el limite de f en +\infty.

¿Que pasa con f en el intervalo [0,1)? ¿y en el intervalo [1,2)?

Como \lfloor x \rfloor = 0 para todo x \in [0,1) entonces f(x) = \frac{x^2 - 0}{2x} = \frac{x}{2} para todo x \in [0,1)

Como \lfloor x \rfloor = 1 para todo x \in [1,2) entonces f(x) = \frac{x^2 - 1}{2x} para todo x \in [1,2)

Aqui tienes un bosquejo de como va qudando el gráfico.

En realidad puedes probar que f(n+\frac{1}{2}) > \frac{1}{3} para todo n natural no nulo.

Mas precisamente, para todo n entero no nulo tenemos que

f(n+\frac{1}{2}) = \frac{(n+\frac{1}{2})^2 - \lfloor n + \frac{1}{2} \rfloor^{2}}{2(n+\frac{1}{2})} = \frac{n^2 + n +\frac{1}{4}-n^2}{2(n+\frac{1}{2})}=\frac{n+\frac{1}{4}}{2n + 1} \geq \frac{n}{3n} = \frac{1}{3}

Deducimos de esta forma que \displaystyle \lim_{x\to+\infty} f(x) no existe

Si tienes mas dudas vuelve a escribir

Saludos