Consultas de pruebas anteriores

Buenas

Para entender este tipo de problemas una buena idea es siempre intentar pensar que pasa en los enteros, y luego en los primeros intervalos de la forma $[n,n+1)$ para luego tratar de entender el límite. Sea $f(x) = \frac{x^{2} - \lfloor x \rfloor^2}{2x}$

En este caso, para $x = n$ entero no nulo como $\lfloor n \rfloor = n$ tenemos que $\frac{x^{2} - \lfloor x \rfloor^2}{2x} = 0$. Tenemos entonces que $f(x) = 0$ para todo $n$ entero no nulo. Desde aqui ya se puede deducir que en caso de existir el limite de $f$ en $+\infty$.

¿Que pasa con $f$ en el intervalo [0,1)? ¿y en el intervalo [1,2)?

Como $\lfloor x \rfloor = 0$ para todo $x \in [0,1)$ entonces $f(x) = \frac{x^2 - 0}{2x} = \frac{x}{2}$ para todo $x \in [0,1)$

Como $\lfloor x \rfloor = 1$ para todo $x \in [1,2)$ entonces $f(x) = \frac{x^2 - 1}{2x}$ para todo $x \in [1,2)$

Aqui tienes un bosquejo de como va qudando el gráfico.

En realidad puedes probar que $f(n+\frac{1}{2}) > \frac{1}{3}$ para todo n natural no nulo.

Mas precisamente, para todo $n$ entero no nulo tenemos que

$f(n+\frac{1}{2}) = \frac{(n+\frac{1}{2})^2 - \lfloor n + \frac{1}{2} \rfloor^{2}}{2(n+\frac{1}{2})} = \frac{n^2 + n +\frac{1}{4}-n^2}{2(n+\frac{1}{2})}=\frac{n+\frac{1}{4}}{2n + 1} \geq \frac{n}{3n} = \frac{1}{3}$

Deducimos de esta forma que $\displaystyle \lim_{x\to+\infty} f(x)$ no existe

Si tienes mas dudas vuelve a escribir

Saludos