Foro Unidad 4 - 2024

Buenas,
gracias Leandro por los comentarios adicionales.
Paso algunos elementos para respuesta:
i) sobre el sorteo. Efectivamente la letra comenta como sortear para un círculo de radio 1 y centro (0,0). A partir de allí, hay que aplicar una traslación (sumar 0.5 a cada coordenada), y un escalado (para pasar de un círculo de radio 1, a un círculo de radio r=0.4km, que es la base de la "montaña"). En términos matemáticos, una homotecia (=traslación +escalado).
Para dar otro ejemplo - si yo quiero generar una v. aleatoria uniforme W entre (5, 15), puedo generar una v.a. U uniforme (0,1), sumarle 5 y multiplicar por 10 - W=5+10U. Como U es uniforme entre 0 y 1, W será uniforme entre 5 y 5+10x1=15.
La función de distribución de W, F_W, cumple esto: F_W(w)=P(W<=w)=P(5+10U<=w)=P(U<=(w-5)/10)=F_U((w-5)/10). como F_U(u)=u para valores de u entre 0 y 1, F_U((w-5)/10)=(w-5)/10 para valores de w entre 5 y 15.
y la función de densidad, f_W , es la derivada, que va a ser 1/10 para valores de w entre 5 y 15.
Esto tiene sentido, ya que si el largo del intervalo de valores que puede tomar W está entre 5 y 15, es de largo 10, por lo tanto la densidad uniforme es 1/largo del intervalo.
Estoy dando el ejemplo con una uniforme, pero vale igualmente para el caso bidimensional, en este ejemplo de un círculo.
ii) el área del círculo base es siempre r=0.4km. No depende del punto sorteado (que tiene que quedar "dentro del círculo", es lo único que se pide. Entiendo que la letra puede generar alguna confusión, porque se explica como sortear un punto dentro de un círculo y se habla de "sortear un valor r", pero ese valor a sortear, es distinto del radio del círculo especificado en el ejercicio 6.1 (donde r no es un valor aleatorio, sino fijo). Es decir, hay "dos r", el que se sortea (digamos, rsorteado), que tiene que ser menor o igual al r del círculo base.
iii) como el círculo base es fijo, la ecuación de la circunferencia no depende del punto sorteado. En general, el área de un círculo depende solo del radio, y no de donde está el centro.
iv) sobre el tema de pasar de una integral de Lebesgue a una de Lebesgue-Stjeltjes, doy un ejemplo. Supongamos que quiero calcular la integral siguiente:

$\int_0^\infty x^2 \times e^{5x} dx$
Y me doy cuenta que $5 e^{5x}$ es la densidad de una v.a. exponencial de parámetro $\lambda=5$.
Entonces puedo escribir $k(z)=z^2/5$, y $dF(z)=5 e^{5x}dz$, y mi integral anterior es igual a $\int_0^\infty z^2/5 \times dF(z)$.
Para hacer Monte Carlo, sorteo valores $z$ de distribución exponencial y parámetro $\lambda=5$ , y en cada punto calculo $k(z)$.
Es un caso donde "divido y multiplico por un valor constante, 5", para tener del lado derecho la función de probabilildad de una v. aleatoria que vamos a sortear, y del lado izquierdo la función $k(z)$, que multiplicada por $dF(z)$ resulta ser la función original a integrar.

En el ejemplo que estamos viendo, es más simple en cuanto que la distribución que vamos a sortear es una uniforme, pero "dentro de un círculo", por lo tanto la modificación a realizar es más sencilla, simplemente tener en cuenta el factor "de escala" entre la uniforme en un círculo y la uniforme en el cuadrado.

Saludos
Héctor