Complemento Ortogonal (EJ 5 parte 2-c)

Complemento Ortogonal (EJ 5 parte 2-c)

de Alexis Sokorov Vargas -
Número de respuestas: 2

Bunas! Tengo una duda sobre algo puntual en el apartado (c) del ejercicio:



Para poder hallar la base de S^{\bot} apliqué la definición y me dio que una base podría ser  \displaystyle \{ (1, -\frac{3}{2} , 0) , (0, -\frac{3}{2} , 1)\} \xrightarrow{b} S^{\bot}

Mi duda es la siguiente:

Una profesora comentó que otra forma de resolverlo podría ser utilizando la parte 2-b aplicando G.S. con v_1=(1,1,1) obteniendo una B.O.N. \{ (v_1 , w_2 , w_3) \} \xrightarrow{bon} V y, por la parte 5-1 necesariamente \{ ( w_2 , w_3) \} \xrightarrow{bon} S^{\bot}  

Hallé la B.O.N. que menciona, siendo esta,\{ \frac{\sqrt{3} }{3}(1,1,1) , \frac{\sqrt{2} }{2}(1,0,-1),\frac{3 \sqrt{35}} {8}(9/8,-3/8,-15/8) \} , ¿podría ser que los vectores 2 y 3 de la base que hallé sea una posible base para S^{\bot} ?
En respuesta a Alexis Sokorov Vargas

Re: Complemento Ortogonal (EJ 5 parte 2-c)

de Juan Piccini -

Hola Alexis.

En efecto, si a una base de S la completas hasta una base ortogonal de V, entonces como sabes que V=S \oplus S^\perp , los vectores que completan la base deben ser base de S^\perp.

Si lo miras geométricamente, S es una recta por el origen con vector director (1,1,1) y S^\perp es el plano por el origen cuyo vector normal es el (1,1,1).

Cualquier pareja de vectores del plano que no sean colineales es una base, en particular si son ortogonales y si además tienen norma uno.

Saludos

J.
En respuesta a Alexis Sokorov Vargas

Re: Complemento Ortogonal (EJ 5 parte 2-c)

de Eduardo Canale -

Ojo,  que me parece que hiciste los cálculos con el producto usual en lugar de con el producto que te dan.

Por ejemplo  (1,−3/2,0) por (1,1,1) es  2 -3/2 \neq 0.

y (3/√3)(1,1,1) por  2√2(1,0,−1) es (3/√3)2√2(2-1-1+1)\neq 0

Así que ninguna de los dos conjuntos que  hallaste son base de S^\perp

Saludos